катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 48. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе

Данная задача относится к планиметрии и решается с помощью теоремы Пифагора и свойств высот в прямоугольном треугольнике. Постараюсь объяснить подробно.

Дано:
Катеты прямоугольного треугольника: \( a = 20 \), \( b = 48 \).

Требуется найти: высоту, проведённую к гипотенузе (\( h \)).

Шаг 1. Найти гипотенузу (\( c \))

По теореме Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Подставим значения:
\[ c = \sqrt{20^2 + 48^2} = \sqrt{400 + 2304} = \sqrt{2704} \]

Теперь извлечём корень:
\[ c = \sqrt{2704} = 52 \]

Шаг 2. Запомнить свойства высоты к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, разбивает гипотенузу на два отрезка — \( p \) и \( q \).

Известно важное свойство:
\[ h = \frac{a \times b}{c} \]

где:

• \( a \) и \( b \) — катеты,
• \( c \) — гипотенуза,
• \( h \) — высота, проведённая к гипотенузе.

Это следует из свойств подобных треугольников и равно площади треугольника, высотой \( h \).

Шаг 3. Вычислить высоту \( h \)

Подставим значения:
\[ h = \frac{20 \times 48}{52} \]

Вычислим числитель:
\[ 20 \times 48 = 960 \]

Теперь делим:
\[ h = \frac{960}{52} \]

Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
\[ h = \frac{960 ÷ 4}{52 ÷ 4} = \frac{240}{13} \]

Это примерно равно:
\[ h \approx 18.46 \]

Ответ:

Высота, проведённая к гипотенузе, равна \(\displaystyle \frac{240}{13} \approx 18.46\).