Данная задача относится к планиметрии и решается с помощью теоремы Пифагора и свойств высот в прямоугольном треугольнике. Постараюсь объяснить подробно.
Дано:
Катеты прямоугольного треугольника: ( a = 20 ), ( b = 48 ).
Требуется найти: высоту, проведённую к гипотенузе (( h )).
Шаг 1. Найти гипотенузу (( c ))
По теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Подставим значения:
[
c = \sqrt{20^2 + 48^2} = \sqrt{400 + 2304} = \sqrt{2704}
]
Теперь извлечём корень:
[
c = \sqrt{2704} = 52
]
Шаг 2. Запомнить свойства высоты к гипотенузе
В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, разбивает гипотенузу на два отрезка — ( p ) и ( q ).
Известно важное свойство:
[
h = \frac{a \times b}{c}
]
где:
- ( a ) и ( b ) — катеты,
- ( c ) — гипотенуза,
- ( h ) — высота, проведённая к гипотенузе.
Это следует из свойств подобных треугольников и равно площади треугольника, высотой ( h ).
Шаг 3. Вычислить высоту ( h )
Подставим значения:
[
h = \frac{20 \times 48}{52}
]
Вычислим числитель:
[
20 \times 48 = 960
]
Теперь делим:
[
h = \frac{960}{52}
]
Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
[
h = \frac{960 ÷ 4}{52 ÷ 4} = \frac{240}{13}
]
Это примерно равно:
[
h \approx 18.46
]
Ответ:
Высота, проведённая к гипотенузе, равна (\displaystyle \frac{240}{13} \approx 18.46).
