Контрольная работа номер 12, по теме "производная и её применение" вариант 2, 2. Дана функция f(х)=х³-3х-6. Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции, Подробное…

Конечно! Давайте подробно разберем задачу по теме "Производная и её применение" на примере функции \(f(x) = x^3 - 3x - 6\).

Задача:
Найти промежутки возрастания и убывания функции \(f(x)\).

---

Шаг 1: Найти производную функции \(f(x)\)

Производная показывает, как меняется функция при изменении \(x\).
Для функции \(f(x) = x^3 - 3x - 6\):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x) - \frac{d}{dx}(6) \]

Посчитаем каждое слагаемое:

• \(\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2\) (по правилу степени)
• \(\frac{d}{dx}(3x) = 3\)
• \(\frac{d}{dx}(6) = 0\)

Итак,

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

---

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки — это значения \(x\), при которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае:

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \]

Решим уравнение:

\[ 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]

Критические точки: \(x = -1\) и \(x = 1\).

---

Шаг 3: Исследовать знак производной

Чтобы понять, где функция возрастает или убывает, нужно определить знак производной \(f'(x) = 3x^2 - 3\) на промежутках, разбитых критическими точками.

Рассмотрим три промежутка:

• \((-\infty, -1)\)
• \((-1, 1)\)
• \((1, +\infty)\)

Подставим произвольное значение \(x\) из каждого промежутка в \(f'(x)\):

1. На промежутке \((-\infty, -1)\):

Выберем, например, \(x = -2\):

\[ f'(-2) = 3 \times (-2)^2 - 3 = 3 \times 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \]

Значит, \(f'(x) > 0\) — функция возрастает на этом промежутке.

2. На промежутке \((-1, 1)\):

Выберем, например, \(x = 0\):

\[ f'(0) = 3 \times 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3 < 0 \]

Значит, \(f'(x) < 0\) — функция убывает на этом промежутке.

3. На промежутке \((1, +\infty)\):

Выберем, например, \(x = 2\):

\[ f'(2) = 3 \times 2^2 - 3 = 3 \times 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \]

Значит, \(f'(x) > 0\) — функция возрастает на этом промежутке.

---

Итог:

• Функция возрастает на промежутках \((-\infty, -1)\) и \((1, +\infty)\).
• Функция убывает на промежутке \((-1, 1)\).

---

Ответ:

Промежутки возрастания: \((-\infty, -1)\) и \((1, +\infty)\).
Промежуток убывания: \((-1, 1)\).

Если возникнут дополнительные вопросы или нужно разобрать другие части задачи, не стесняйтесь!