Конечно! Давайте подробно разберем задачу по теме "Производная и её применение" на примере функции (f(x) = x^3 - 3x - 6).
Задача:
Найти промежутки возрастания и убывания функции (f(x)).
Шаг 1: Найти производную функции (f(x))
Производная показывает, как меняется функция при изменении (x).
Для функции (f(x) = x^3 - 3x - 6):
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x) - \frac{d}{dx}(6)
]
Посчитаем каждое слагаемое:
- (\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2) (по правилу степени)
- (\frac{d}{dx}(3x) = 3)
- (\frac{d}{dx}(6) = 0)
Итак,
[
f'(x) = 3x^2 - 3
]
Шаг 2: Найти критические точки
Критические точки — это значения (x), при которых производная равна нулю или не существует. В нашем случае:
[
f'(x) = 3x^2 - 3 = 0
]
Решим уравнение:
[
3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
]
Критические точки: (x = -1) и (x = 1).
Шаг 3: Исследовать знак производной
Чтобы понять, где функция возрастает или убывает, нужно определить знак производной (f'(x) = 3x^2 - 3) на промежутках, разбитых критическими точками.
Рассмотрим три промежутка:
- ((-\infty, -1))
- ((-1, 1))
- ((1, +\infty))
Подставим произвольное значение (x) из каждого промежутка в (f'(x)):
1. На промежутке ((-\infty, -1)):
Выберем, например, (x = -2):
[
f'(-2) = 3 \times (-2)^2 - 3 = 3 \times 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0
]
Значит, (f'(x) > 0) — функция возрастает на этом промежутке.
2. На промежутке ((-1, 1)):
Выберем, например, (x = 0):
[
f'(0) = 3 \times 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3 < 0
]
Значит, (f'(x) < 0) — функция убывает на этом промежутке.
3. На промежутке ((1, +\infty)):
Выберем, например, (x = 2):
[
f'(2) = 3 \times 2^2 - 3 = 3 \times 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0
]
Значит, (f'(x) > 0) — функция возрастает на этом промежутке.
Итог:
- Функция возрастает на промежутках ((-\infty, -1)) и ((1, +\infty)).
- Функция убывает на промежутке ((-1, 1)).
Ответ:
Промежутки возрастания: ((-\infty, -1)) и ((1, +\infty)).
Промежуток убывания: ((-1, 1)).
Если возникнут дополнительные вопросы или нужно разобрать другие части задачи, не стесняйтесь!
