Для изготовления двух видов железобетонных изделий (ЖБИ) используются ресурсы: металлопрокат, бетон, рабочее время. Запасы ресурсов, затраты ресурсов на производство продукции и…
Для изготовления двух видов железобетонных изделий (ЖБИ) используются ресурсы: металлопрокат, бетон, рабочее время. Запасы ресурсов, затраты ресурсов на производство продукции и прибыль от реализации продукции каждого типа представлены в таблице: Металлопрокат: ЖБИ 1-го типа: 2.9 ЖБИ 2-го типа: 21,2 Запасы ресурсов: 287 Бетон: 14,7 3,7 131 Рабочее время: 15,1 8,6 139 Прибыль от единицы продукции: 30,2 24,9 Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль будет максимальной.
Давайте решим задачу по оптимизации производства двух видов железобетонных изделий (ЖБИ) с целью максимизации прибыли.
Дано:
| Ресурс | ЖБИ 1-го типа | ЖБИ 2-го типа | Запасы ресурсов |
|---|---|---|---|
| Металлопрокат | 2,9 | 21,2 | 287 |
| Бетон | 14,7 | 3,7 | 131 |
| Рабочее время | 15,1 | 8,6 | 139 |
| Прибыль за единицу | 30,2 | 24,9 |
Обозначим:
- x₁ — количество произведённых изделий типа 1,
- x₂ — количество изделий типа 2.
Задача:
Максимизировать прибыль: \[ Z = 30,2x_1 + 24,9x_2 \]
Ограничения по ресурсам:
- Металлопрокат: \[ 2,9x_1 + 21,2x_2 \leq 287 \]
- Бетон: \[ 14,7x_1 + 3,7x_2 \leq 131 \]
- Рабочее время: \[ 15,1x_1 + 8,6x_2 \leq 139 \]
Также: \[ x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0 \]
Решение методом графического анализа или линейного программирования
Для быстроты решим применяя метод подстановки или графический, так как у задачи два переменных.
Шаг 1. Построим ограничения
Ограничение по метапрокату: \[ 2,9x_1 + 21,2x_2 \leq 287 \]
Ограничение по бетону: \[ 14,7x_1 + 3,7x_2 \leq 131 \]
Ограничение по рабочему времени: \[ 15,1x_1 + 8,6x_2 \leq 139 \]
Рассчитаем предельные значения для каждой ограничения при x₁=0 и x₂=0.
Шаг 2. Краевые точки
Нам нужно найти точки пересечения ограничений (угловые точки), так как максимум при линейной функции находится либо на границе, либо в вершине полигона допустимых решений.
1. Пересечение ограничений по металлу и бетону:
Рассмотрим систему: \[ 2,9x_1 + 21,2x_2 = 287 \] \[ 14,7x_1 + 3,7x_2 = 131 \]
Решим их совместно.
Из первого выразим \(x_1\): \[ 2,9x_1 = 287 - 21,2x_2 \Rightarrow x_1 = \frac{287 - 21,2x_2}{2,9} \]
Подставим в второе: \[ 14,7 \times \frac{287 - 21,2x_2}{2,9} + 3,7x_2 = 131 \]
Решим по шагам:
\[ 14,7 \times (287 - 21,2x_2) / 2,9 + 3,7x_2 = 131 \]
Посчитаем \(14,7/2,9 \approx 5.069\):
Равно: \[ 5.069 \times (287 - 21,2x_2) + 3,7x_2 = 131 \]
Раскроем скобки:
\[ 5.069 \times 287 - 5.069 \times 21,2x_2 + 3,7x_2 = 131 \]
Вычислим:
\[ 5.069 \times 287 \approx 1454.503 \] \[ 5.069 \times 21,2 \approx 107.55 \]
Тогда уравнение:
\[ 1454.503 - 107.55x_2 + 3,7x_2 = 131 \]
Объединим подобные:
\[ -107.55x_2 + 3.7x_2 = -103.85x_2 \]
Следовательно:
\[ 1454.503 - 103.85x_2 = 131 \]
Перенесем:
\[ -103.85x_2 = 131 - 1454.503 = -1323.503 \] \[ x_2 = \frac{-1323.503}{-103.85} \approx 12.75 \]
Найдем \(x_1\):
\[ x_1 = \frac{287 - 21,2 \times 12.75}{2.9} \]
Вычислим:
\[ 21.2 \times 12.75 \approx 270.3 \]
Тогда:
\[ x_1 = \frac{287 - 270.3}{2.9} \approx \frac{16.7}{2.9} \approx 5.76 \]
Первая точка:
\[ A_1 \approx (5.76, 12.75) \]
2. Пересечение по бетону и рабочему времени:
Аналогично:
\[ 14,7x_1 + 3,7x_2 = 131 \] \[ 15,1x_1 + 8,6x_2 = 139 \]
Решим систему:
Из первого:
\[ 14,7x_1 = 131 - 3,7x_2 \] \[ x_1 = \frac{131 - 3.7x_2}{14,7} \]
Подставим во второе:
\[ 15,1 \times \frac{131 - 3,7x_2}{14,7} + 8,6x_2 = 139 \]
Вычисление:
\[ 15,1 / 14,7 \approx 1.026 \]
Тогда:
\[ 1.026 (131 - 3,7x_2) + 8,6x_2 = 139 \]
Раскроем скобки:
\[ 1.026 \times 131 - 1.026 \times 3,7x_2 + 8,6x_2 = 139 \]
Посчитаем:
\[ 1.026 \times 131 \approx 134.4 \] \[ 1.026 \times 3.7 \approx 3.8 \]
Следовательно:
\[ 134.4 - 3.8x_2 + 8,6x_2 = 139 \]
Объединим \(x_2\):
\[ (-3.8 + 8.6) x_2 = 139 - 134.4 = 4.6 \] \[ 4.8x_2 = 4.6 \] \[ x_2 = \frac{4.6}{4.8} \approx 0.958 \]
Найдем \(x_1\):
\[ x_1 = \frac{131 - 3,7 \times 0.958}{14,7} \]
Вычислите:
\[ 3.7 \times 0.958 \approx 3.548 \] \[ x_1 = \frac{131 - 3.548}{14,7} \approx \frac{127.45}{14.7} \approx 8.67 \]
Первая точка:
\[ A_2 \approx (8.67, 0.958) \]
3. Пересечение ограничения по времени и металоуклада (уже учтено).
4. Проверим границы и другие важные точки:
- \(x_1=0\):
Значения для ресурсов:
Металлопрокат при \(x_1=0\):
\[ 21,2x_2 \leq 287 \Rightarrow x_2 \leq \frac{287}{21.2} \approx 13.53 \]
Бетон:
\[ 3,7x_2 \leq 131 \Rightarrow x_2 \leq \frac{131}{3.7} \approx 35.41 \]
Рабочее время:
\[ 8,6x_2 \leq 139 \Rightarrow x_2 \leq \frac{139}{8.6} \approx 16.16 \]
Минимум из них — 13.53, значит точка:
\[ (0, 13.53) \]
Посчитаем прибыль:
\[ Z = 30.2 \times 0 + 24.9 \times 13.53 \approx 337.5 \]
- \(x_2=0\):
Металлопрокат:
\[ 2,9x_1 \leq 287 \Rightarrow x_1 \leq \frac{287}{2.9} \approx 99.0 \]
Бетон:
\[ 14.7x_1 \leq 131 \Rightarrow x_1 \leq \frac{131}{14.7} \approx 8.9 \]
Рабочее время:
\[ 15.1x_1 \leq 139 \Rightarrow x_1 \leq \frac{139}{15.1} \approx 9.2 \]
Минимальное — 8.9, точка:
\[ (8.9,0) \]
Прибыль:
\[ Z = 30.2 \times 8.9 + 24.9 \times 0 \approx 269 \]
Итоговые точки и прибыли:
| Точка | Прибыль |
|---|---|
| \((0, 13.53)\) | ≈ 337.5 |
| \((5.76, 12.75)\) | Посчитаем: \(30.2 \times 5.76 + 24.9 \times 12.75\) |
| \((8.67, 0.96)\) | Посчитаем: \(30.2 \times 8.67 + 24.9 \times 0.96\) |
| \((8.9, 0)\) | ≈ 269 |
Рассчитаем прибыли для точек \( (5.76, 12.75) \) и \( (8.67, 0.96) \):
- Для \( (5.76, 12.75) \):
\[ Z = 30.2 \times 5.76 + 24.9 \times 12.75 \approx 174 + 318 \approx 492 \]
- Для \( (8.67, 0.96) \):
\[ Z = 30.2 \times 8.67 + 24.9 \times 0.96 \approx 261.7 + 23.9 \approx 285.6 \]
Наиболее выгодная точка — (5.76, 12.75), максимизирующая прибыль ≈ 492.
Итог:
Оптимальный план:
\[ x_1 \approx 5.76, \quad x_2 \approx 12.75 \]
Прибыль приблизительно — 492.
Если нужно — я могу подготовить более точные числа, но в целом так достигается максимум прибыли.
Если есть желание — можно провести более точное решение с помощью специальных программ или таблиц, но тут представлен приблизительный аналитический ответ.
