Решите уравнение

Конечно! Давайте решим уравнение: \[ \lg(x^2 + x - 6) - \lg(x + 3) = 3 \] --- ### Шаг 1. Используем свойства логарифмов Помним, что разность логарифмов равна логарифму частного: \[ \lg A - \lg B = \lg \left( \frac{A}{B} \right) \] Тогда уравнение преобразится в: \[ \lg \left( \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} \right) = 3 \] --- ### Шаг 2. Перепишем уравнение без логарифма Так как \(\lg A = 3\), то \[ A = 10^3 = 1000 \] Значит, получаем: \[ \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = 1000 \] --- ### Шаг 3. Решим уравнение Перемножим обе части на \(x + 3\), чтобы избавиться от дроби: \[ x^2 + x - 6 = 1000(x + 3) \] Раскроем скобки справа: \[ x^2 + x - 6 = 1000x + 3000 \] Перенесем всё в левую часть: \[ x^2 + x - 6 - 1000x - 3000 = 0 \] Упростим: \[ x^2 - 999x - 3006 = 0 \] --- ### Шаг 4. Решение квадратного уравнения Используем формулу корней квадраного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь: - \(a = 1\) - \(b = -999\) - \(c = -3006\) Подставим и найдём дискриминант \(D\): \[ D = (-999)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3006) = 998001 + 12024 = 1016025 \] Теперь найдём корни: \[ x = \frac{999 \pm \sqrt{1016025}}{2} \] Считаем \(\sqrt{1016025}\). Заметим, что: \[ 1009^2 = 1,018,081 \] Или при проверке: \[ 1008^2 = (1000 + 8)^2 = 1000^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 8 + 8^2 = 1,000,000 + 16,000 + 64 = 1,016,064 \] Это чуть меньше, чем дискриминант. Проверим: \[ 1016025 = 1009^2 \] Поскольку: \[ 1009^2 = (1000 + 9)^2 = 1,000,000 + 2 \cdot 1000 \cdot 9 + 81 = 1,000,000 + 18,000 + 81 = 1,018,081 \] Это больше. Тогда попробуем с точным вычислением: \[ \sqrt{1,016,025} = 1007.07 \approx \] Но лучше оставить в виде корня. Для точности: \[ \sqrt{1016025} \approx 1008.01 \] Теперь решим: \[ x = \frac{999 \pm 1008.01}{2} \] Рассмотрим оба варианта: 1. \(x_1 = \frac{999 + 1008.01}{2} \approx \frac{2007.01}{2} \approx 1003.505\) 2. \(x_2 = \frac{999 - 1008.01}{2} \approx \frac{-9.01}{2} \approx -4.505\) --- ### Шаг 5. Проверка условий определения Логарифмы требуют, чтобы выражения внутри были положительными: \[ x^2 + x - 6 > 0 \] и \[ x + 3 > 0 \] Рассмотрим каждое решение: - Для \(x \approx 1003.5\): Проверим \(x + 3 \approx 1006.5 > 0\), подходит. Проверим \(x^2 + x - 6 \approx (1003.5)^2 + 1003.5 - 6\) \[ \approx 1,006,998 + 1003.5 -6 \approx 1,006,998 + 997.5 \approx 1,007,995.5 > 0 \] Всё хорошо. - Для \(x \approx -4.505\): Проверим \(x + 3 \approx -1.505 < 0\), что недопустимо, так как логарифм отрицательного аргумента недопустим. Следовательно, это решение исключается. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x \approx 1003.505 } \] или более точно, при обозначении через корень, решение: \[ x = \frac{999 + \sqrt{1016025}}{2} \approx 1003.5 \] --- Если понадобится более точное решение или объяснение — скажите!