Решите уравнение
Конечно! Давайте решим уравнение:
\[ \lg(x^2 + x - 6) - \lg(x + 3) = 3 \]
Шаг 1. Используем свойства логарифмов
Помним, что разность логарифмов равна логарифму частного:
\[ \lg A - \lg B = \lg \left( \frac{A}{B} \right) \]
Тогда уравнение преобразится в:
\[ \lg \left( \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} \right) = 3 \]
Шаг 2. Перепишем уравнение без логарифма
Так как \(\lg A = 3\), то
\[ A = 10^3 = 1000 \]
Значит, получаем:
\[ \frac{x^2 + x - 6}{x + 3} = 1000 \]
Шаг 3. Решим уравнение
Перемножим обе части на \(x + 3\), чтобы избавиться от дроби:
\[ x^2 + x - 6 = 1000(x + 3) \]
Раскроем скобки справа:
\[ x^2 + x - 6 = 1000x + 3000 \]
Перенесем всё в левую часть:
\[ x^2 + x - 6 - 1000x - 3000 = 0 \]
Упростим:
\[ x^2 - 999x - 3006 = 0 \]
Шаг 4. Решение квадратного уравнения
Используем формулу корней квадраного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь:
- \(a = 1\)
- \(b = -999\)
- \(c = -3006\)
Подставим и найдём дискриминант \(D\):
\[ D = (-999)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3006) = 998001 + 12024 = 1016025 \]
Теперь найдём корни:
\[ x = \frac{999 \pm \sqrt{1016025}}{2} \]
Считаем \(\sqrt{1016025}\). Заметим, что:
\[ 1009^2 = 1,018,081 \]
Или при проверке:
\[ 1008^2 = (1000 + 8)^2 = 1000^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 8 + 8^2 = 1,000,000 + 16,000 + 64 = 1,016,064 \]
Это чуть меньше, чем дискриминант.
Проверим:
\[ 1016025 = 1009^2 \]
Поскольку:
\[ 1009^2 = (1000 + 9)^2 = 1,000,000 + 2 \cdot 1000 \cdot 9 + 81 = 1,000,000 + 18,000 + 81 = 1,018,081 \]
Это больше. Тогда попробуем с точным вычислением:
\[ \sqrt{1,016,025} = 1007.07 \approx \]
Но лучше оставить в виде корня. Для точности:
\[ \sqrt{1016025} \approx 1008.01 \]
Теперь решим:
\[ x = \frac{999 \pm 1008.01}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
\(x_1 = \frac{999 + 1008.01}{2} \approx \frac{2007.01}{2} \approx 1003.505\)
\(x_2 = \frac{999 - 1008.01}{2} \approx \frac{-9.01}{2} \approx -4.505\)
Шаг 5. Проверка условий определения
Логарифмы требуют, чтобы выражения внутри были положительными:
\[ x^2 + x - 6 > 0 \] и \[ x + 3 > 0 \]
Рассмотрим каждое решение:
Для \(x \approx 1003.5\):
Проверим \(x + 3 \approx 1006.5 > 0\), подходит.
Проверим \(x^2 + x - 6 \approx (1003.5)^2 + 1003.5 - 6\)
\[ \approx 1,006,998 + 1003.5 -6 \approx 1,006,998 + 997.5 \approx 1,007,995.5 > 0 \]
Всё хорошо.
Для \(x \approx -4.505\):
Проверим \(x + 3 \approx -1.505 < 0\), что недопустимо, так как логарифм отрицательного аргумента недопустим.
Следовательно, это решение исключается.
Ответ:
\[ \boxed{ x \approx 1003.505 } \]
или более точно, при обозначении через корень, решение:
\[ x = \frac{999 + \sqrt{1016025}}{2} \approx 1003.5 \]
Если понадобится более точное решение или объяснение — скажите!
