Давайте последовательно разберём задачу и найдём искомое количество раствора во втором сосуде.
Дано:
- В первом сосуде первоначально 10 л раствора с концентрацией 50%.
- Во втором сосуде — не указано явно, необходимо найти начальный объём.
- Первый сосуд: 50%-й раствор (то есть концентрация уксусной кислоты 50%).
- Второй сосуд: 25%-й раствор.
- 2 л раствора из первого сосуда перекачали во второй.
- После перемешивания во втором сосуде из него перелили 2 л раствора обратно в первый.
- После этого концентрация раствора в первом сосуде стала 46%.
Шаг 1. Обозначения и начальные данные
Обозначим:
- Вторая посуда изначально содержит ( x ) литров раствора.
- В первом сосуде после начала — 10 литров раствора (дано).
Шаг 2. Переливание 2 л из первого сосуда во второй
В первом сосуде было 10л с концентрацией 50%.
Перелили 2 л раствора.
В первом сосуде осталось: ( 10 - 2 = 8 ) л, и концентрация остаётся 50%。
В второй сосуд добавляется 2 л раствора с концентрацией 50% (от первого сосуда).
Изначально в втором сосуде было ( x ) л с концентрацией 25%.
После добавления:
- Объём во втором сосуде: ( x + 2 ) л.
- В составе:
- Концентрация минус изменение — доля уксусной кислоты из исходных компонентов.
Шаг 3. Рассчитаем содержание уксусной кислоты в сосудах после первого переливания
В первом сосуде после переливания:
- Весь оставшийся раствор: 8 л с концентрацией 50%,
- Общая масса уксусной кислоты:
[
8 \times 0.5 = 4 \text{ л уксусной кислоты}
]
Во втором сосуде после добавления:
Изначально: ( x ) л с концентрацией 25%,
В добавленных 2 л — из первого сосуда, то есть концентрация 50%,
Общая масса уксусной кислоты после добавления:
[
\text{масса в исходном сосуде} = x \times 0.25
]
[
\text{масса добавленных} = 2 \times 0.5 = 1
]
[
\Rightarrow \text{Общий уксус в втором сосуде} = x \times 0.25 + 1
]
Шаг 4. Рассчитаем концентрацию раствора после перемешивания во втором сосуде
Общий объем во втором сосуде: ( x + 2 ) л.
Общая масса уксусной кислоты: ( 0.25x + 1 ).
Концентрация во втором сосуде после перемешивания:
[
C_{\text{после перемешивания}} = \frac{0.25x + 1}{x + 2}
]
Шаг 5. Переливание 2 л раствора из второго сосуда в первый
Выше мы нашли массу уксусной кислоты в 2 л раствора:
[
\text{масса уксуса в 2 л} = 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2}
]
В первый сосуд перекачали 2 л раствора с концентрацией, равной концентрации во втором сосуде, то есть:
[
C_2 = \frac{0.25x + 1}{x + 2}
]
Шаг 6. Конечная концентрация в первом сосуде равна 46%
Общий объём в первом сосуде — 10 л.
Масса уксусной кислоты:
[
m = 10 \times 0.46 = 4.6 \text{ литров}
]
Используем выражение из предыдущего пункта:
[
4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 4.6
]
Шаг 7. Решение уравнения
Запишем уравнение и решим его:
[
4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 4.6
]
Вычитаем 4 с обеих сторон:
[
2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.6
]
Делим обе части на 2:
[
\frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.3
]
Итак, получаем уравнение:
[
0.25x + 1 = 0.3(x + 2)
]
Раскроем скобки справа:
[
0.25x + 1 = 0.3x + 0.6
]
Переносим все в одну сторону:
[
0.25x - 0.3x = 0.6 - 1
]
[
-0.05x = -0.4
]
Делим обе стороны на -0.05:
[
x = \frac{-0.4}{-0.05} = 8
]
Итог:
Во втором сосуде изначально было 8 литров раствора.
Ответ:
8 (литров).
