10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) = 2x⁵ + 5x⁴ - 10x³ + 3 на отрезке [ - 2; 2]

Давайте решим задачу поиска наибольшего и наименьшего значения функции \(f(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3\) на отрезке \([-2; 2]\). Шаг 1. Найдём критические точки функции внутри интервала. Для этого найдём первую производную \(f'(x)\) и приравняем её к нулю: \[f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3)\] Посчитаем производную: \[ f'(x) = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 \] Шаг 2. Решим уравнение \(f'(x) = 0\): \[ 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0 \] Выделим общий множитель: \[ 10x^2(x^2 + 2x - 3) = 0 \] Отсюда получаем два уравнения: 1. \(10x^2 = 0 \Rightarrow x=0\) 2. \(x^2 + 2x - 3 = 0\) Решим квадратное уравнение: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Используем формулу: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \] Получаем два решения: \[ x = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \] Но поскольку интервал \([-2; 2]\), то \(x = -3\) вне интервала и не рассматривается. Итак, критические точки внутри интервала: \[ x=0, \quad x=1 \] Шаг 3. Проверим значения функции в критических точках и на концах интервала. Концы интервала: \[ x = -2, \quad x=2 \] Значения функции в этих точках: 1. \(f(-2)\): \[ f(-2) = 2(-2)^5 + 5(-2)^4 - 10(-2)^3 + 3 \] Вычислим по частям: \[ (-2)^5 = -32 \] \[ (-2)^4 = 16 \] \[ (-2)^3 = -8 \] Подставим: \[ f(-2) = 2 \cdot (-32) + 5 \cdot 16 - 10 \cdot (-8) + 3 = -64 + 80 + 80 + 3 = 99 \] 2. \(f(2)\): \[ f(2) = 2(2)^5 + 5(2)^4 - 10(2)^3 + 3 \] Вычислим: \[ (2)^5=32,\quad (2)^4=16,\quad (2)^3=8 \] Подставим: \[ f(2) = 2 \cdot 32 + 5 \cdot 16 - 10 \cdot 8 + 3 = 64 + 80 - 80 + 3 = 67 \] Критические точки: - В \(x=0\): \[ f(0) = 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 10 \cdot 0 + 3 = 3 \] - В \(x=1\): \[ f(1) = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 10 \cdot 1 + 3 = 2 + 5 - 10 + 3 = 0 \] Шаг 4. Итог: | Точка | Значение функции | |---------|------------------| | \(x=-2\) | 99 | | \(x=0\) | 3 | | \(x=1\) | 0 | | \(x=2\) | 67 | Наибольшее значение на интервале — **99** в точке \(x=-2\). Наименьшее значение — **0** в точке \(x=1\). **Ответ:** - Наибольшее значение функции: **99** при \(x = -2\) - Наименьшее значение функции: **0** при \(x=1\)