10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) = 2x⁵ + 5x⁴ - 10x³ + 3 на отрезке [ - 2; 2]
Давайте решим задачу поиска наибольшего и наименьшего значения функции \(f(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3\) на отрезке \([-2; 2]\).
Шаг 1. Найдём критические точки функции внутри интервала.
Для этого найдём первую производную \(f'(x)\) и приравняем её к нулю:
\[f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 3)\]
Посчитаем производную:
\[ f'(x) = 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 \]
Шаг 2. Решим уравнение \(f'(x) = 0\):
\[ 10x^4 + 20x^3 - 30x^2 = 0 \]
Выделим общий множитель:
\[ 10x^2(x^2 + 2x - 3) = 0 \]
Отсюда получаем два уравнения:
\(10x^2 = 0 \Rightarrow x=0\)
\(x^2 + 2x - 3 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Используем формулу:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Получаем два решения:
\[ x = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]
Но поскольку интервал \([-2; 2]\), то \(x = -3\) вне интервала и не рассматривается.
Итак, критические точки внутри интервала:
\[ x=0, \quad x=1 \]
Шаг 3. Проверим значения функции в критических точках и на концах интервала.
Концы интервала:
\[ x = -2, \quad x=2 \]
Значения функции в этих точках:
- \(f(-2)\):
\[ f(-2) = 2(-2)^5 + 5(-2)^4 - 10(-2)^3 + 3 \]
Вычислим по частям:
\[ (-2)^5 = -32 \] \[ (-2)^4 = 16 \] \[ (-2)^3 = -8 \]
Подставим:
\[ f(-2) = 2 \cdot (-32) + 5 \cdot 16 - 10 \cdot (-8) + 3 = -64 + 80 + 80 + 3 = 99 \]
- \(f(2)\):
\[ f(2) = 2(2)^5 + 5(2)^4 - 10(2)^3 + 3 \]
Вычислим:
\[ (2)^5=32,\quad (2)^4=16,\quad (2)^3=8 \]
Подставим:
\[ f(2) = 2 \cdot 32 + 5 \cdot 16 - 10 \cdot 8 + 3 = 64 + 80 - 80 + 3 = 67 \]
Критические точки:
- В \(x=0\):
\[ f(0) = 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 10 \cdot 0 + 3 = 3 \]
- В \(x=1\):
\[ f(1) = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 10 \cdot 1 + 3 = 2 + 5 - 10 + 3 = 0 \]
Шаг 4. Итог:
| Точка | Значение функции |
|---|---|
| \(x=-2\) | 99 |
| \(x=0\) | 3 |
| \(x=1\) | 0 |
| \(x=2\) | 67 |
Наибольшее значение на интервале — 99 в точке \(x=-2\).
Наименьшее значение — 0 в точке \(x=1\).
Ответ:
- Наибольшее значение функции: 99 при \(x = -2\)
- Наименьшее значение функции: 0 при \(x=1\)
