Диагональ куба равна 448. Найдите его объём.
Дано: диагональ куба равна 448. Необходимо найти его объём.
Шаг 1: Обозначения Обозначим:
- длину стороны куба как \( a \).
- диагональ куба как \( d \).
Шаг 2: Формула диагонали куба Диагональ куба связана с длиной его стороны формулой: \[ d = a \sqrt{3} \] Так как куб — это фигура, у которой все стороны равны, диагональ проходит от одного вершинного угла через центр и к противоположной вершине.
Шаг 3: Найття стороны куба Из формулы: \[ a = \frac{d}{\sqrt{3}} \] Подставим данное значение \( d = 448 \): \[ a = \frac{448}{\sqrt{3}} \]
Чтобы избавиться от иррационала в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ a = \frac{448 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{448 \sqrt{3}}{3} \]
Шаг 4: Объём куба Объём куба: \[ V = a^3 \] Подставляем значение \( a \): \[ V = \left(\frac{448 \sqrt{3}}{3}\right)^3 \]
Шаг 5: Расчет объёма Запишем: \[ V = \frac{(448)^3 \times (\sqrt{3})^3}{3^3} \]
Объем делится на: \[ V = \frac{448^3 \times (\sqrt{3})^3}{27} \]
Теперь упростим по частям.
\( 448^3 \): \[ 448^3 = 448 \times 448 \times 448 \] Можно оставить в виде \( 448^3 \) или посчитать.
\((\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^2 \times \sqrt{3} = 3 \times \sqrt{3} \)
Итог: \[ V = \frac{448^3 \times 3 \times \sqrt{3}}{27} \]
Разделим числитель и знаменатель на 3: \[ V = \frac{448^3 \times \sqrt{3}}{9} \]
Это — окончательное выражение для объёма.
Ответ:
\[ \boxed{ V = \frac{448^3 \times \sqrt{3}}{9} } \]
Если хочется выразить число полностью, нужно вычислить \( 448^3 \). Для этого:
\( 448^2 = 448 \times 448 \)
\( 448 \times 448 \):
- \( 448 \times 400 = 179200 \)
- \( 448 \times 48 = 21424 \)
Сложим: \[ 179200 + 21424 = 200624 \]
Теперь: \[ 448^3 = 448 \times 200624 \]
Рассчитаем:
- \( 448 \times 200000 = 89\,600\,000 \)
- \( 448 \times 624 = 278\,712 \)
Итого: \[ 448^3 = 89\,600\,000 + 278\,712 = 89\,878\,712 \]
Тогда финальный выражение: \[ V = \frac{89\,878\,712 \times \sqrt{3}}{9} \]
Продолжаем деление: \[ V = 9\,987\,633\, \times \sqrt{3} \]
Итак, окончательный ответ:
\[ \boxed{ V \approx 9\,987\,633 \times \sqrt{3} } \]
или в числовом виде (приблизительно), подставляя \(\sqrt{3} \approx 1.732\):
\[ V \approx 9\,987\,633 \times 1.732 \approx 17\,295\,341 \]
Объем куба приблизительно равен 17 295 341 кубических единиц.
Если нужен точный ответ, лучше оставить в виде:
\[ V = 9\,987\,633 \sqrt{3} \]
