При каких значениях а уравнение ( x − 1 ) ( x − a ) = 0 ( x ​ −1)(x−a)=0 имеет единственный ответ? В ответ запишите наибольшее из полученных значений.

Давайте подробно разберем задачу.

Дано: уравнение \[ (x - 1)(x - a) = 0 \]

Цель: определить, при каких значениях \(a\) это уравнение имеет единственный ответ, то есть одну корень.

Шаг 1: Решение уравнения

Уравнение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ (x - 1) = 0 \quad или \quad (x - a) = 0 \]

Отсюда получаем корни:

\[ x = 1 \quad или \quad x = a \]

Шаг 2: Когда уравнение имеет один корень?

Чтобы уравнение имело только один корень, корни должны совпадать. То есть:

\[ x_{1} = x_{2} \]

или

\[ 1 = a \]

Потому что при \(a = 1\):

\[ x = 1 \quad и \quad x = a = 1 \]

— оба корня совпадают, и решений только один: \(x=1\).

Шаг 3: Проверка

• При \(a \neq 1\):

  Корни разные (\(1\) и \(a\)) → решений два.

• При \(a= 1\):

  Одним корнем является \(x=1\), так как оба корня совпадают.

Ответ:

Уравнение имеет единственный ответ при \(a = 1\).

Дополнительный вопрос:

Наибольшее значение \(a\), при котором уравнение имеет один корень?

Ответ — \(a = 1\). Это очевидно, так как эта точка — единственное решение, при котором корни совпадают.

Итог:

Ответ: \(\boxed{1}\)

Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!