Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Количество задач: 10
- Вероятность того, что Олег решит каждую задачу: p = 0,75
- Вероятность того, что Олег не решит задачу: q = 1 - p = 0,25
- Требуется найти вероятность того, что Олег решит от 7 до 9 задач включительно, то есть решит 7, 8 или 9 задач.
Шаг 1: Определение модели
Это задача биномиального распределения, так как каждое испытание (решение задачи) является независимым, с двумя исходами: решить или не решить.
Формула вероятности для биномиального распределения:
[
P(k) = C(n, k) \times p^k \times q^{n - k}
]
где:
- ( n = 10 )
- ( k ) — число успешно решённых задач
- ( C(n, k) ) — число сочетаний (биномиальный коэффициент)
Шаг 2: Вычисление вероятностей для k = 7, 8, 9
Нам нужно найти:
[
P = P(7) + P(8) + P(9)
]
где
[
P(k) = C(10, k) \times (0.75)^k \times (0.25)^{10 - k}
]
Шаг 3: Вычисление каждого слагаемого
Для (k=7):
[
C(10, 7) = \frac{10!}{7! \times 3!} = 120
]
[
P(7) = 120 \times (0.75)^7 \times (0.25)^3
]
Для (k=8):
[
C(10, 8) = \frac{10!}{8! \times 2!} = 45
]
[
P(8) = 45 \times (0.75)^8 \times (0.25)^2
]
Для (k=9):
[
C(10, 9) = \frac{10!}{9! \times 1!} = 10
]
[
P(9) = 10 \times (0.75)^9 \times (0.25)^1
]
Шаг 4: Вычисление значений
(P(7)):
[
(0.75)^7 \approx 0.1335
]
[
(0.25)^3 = 0.015625
]
[
P(7) = 120 \times 0.1335 \times 0.015625 \approx 120 \times 0.0020859375 \approx 0.2503
]
(P(8)):
[
(0.75)^8 \approx 0.1001
]
[
(0.25)^2 = 0.0625
]
[
P(8) = 45 \times 0.1001 \times 0.0625 \approx 45 \times 0.00625625 \approx 0.281
]
(P(9)):
[
(0.75)^9 \approx 0.075
]
[
(0.25)^1 = 0.25
]
[
P(9) = 10 \times 0.075 \times 0.25 = 10 \times 0.01875 = 0.1875
]
Шаг 5: Итоговая вероятность
[
P = P(7) + P(8) + P(9) \approx 0.2503 + 0.281 + 0.1875 = 0.7188
]
Ответ: вероятность того, что Олег решит от 7 до 9 задач, примерно равна 0,719 или 71,9%.
Если нужны более точные значения, можно использовать калькулятор или программное обеспечение для вычислений.
