олегу задали решить 10одинаковых по трудности задач . Вероятность того, что Олег решит каждую отдельную задачу, равна 0,75. Найдите вероятность того, что Олег решит от 7 до 9-ти…

Давайте решим задачу по шагам.

Дано:

• Количество задач: 10
• Вероятность того, что Олег решит каждую задачу: p = 0,75
• Вероятность того, что Олег не решит задачу: q = 1 - p = 0,25
• Требуется найти вероятность того, что Олег решит от 7 до 9 задач включительно, то есть решит 7, 8 или 9 задач.

Шаг 1: Определение модели

Это задача биномиального распределения, так как каждое испытание (решение задачи) является независимым, с двумя исходами: решить или не решить.

Формула вероятности для биномиального распределения:

\[ P(k) = C(n, k) \times p^k \times q^{n - k} \]

где:

• \( n = 10 \)
• \( k \) — число успешно решённых задач
• \( C(n, k) \) — число сочетаний (биномиальный коэффициент)

Шаг 2: Вычисление вероятностей для k = 7, 8, 9

Нам нужно найти:

\[ P = P(7) + P(8) + P(9) \]

где

\[ P(k) = C(10, k) \times (0.75)^k \times (0.25)^{10 - k} \]

Шаг 3: Вычисление каждого слагаемого

Для \(k=7\):

\[ C(10, 7) = \frac{10!}{7! \times 3!} = 120 \] \[ P(7) = 120 \times (0.75)^7 \times (0.25)^3 \]

Для \(k=8\):

\[ C(10, 8) = \frac{10!}{8! \times 2!} = 45 \] \[ P(8) = 45 \times (0.75)^8 \times (0.25)^2 \]

Для \(k=9\):

\[ C(10, 9) = \frac{10!}{9! \times 1!} = 10 \] \[ P(9) = 10 \times (0.75)^9 \times (0.25)^1 \]

Шаг 4: Вычисление значений

\(P(7)\):

\[ (0.75)^7 \approx 0.1335 \] \[ (0.25)^3 = 0.015625 \] \[ P(7) = 120 \times 0.1335 \times 0.015625 \approx 120 \times 0.0020859375 \approx 0.2503 \]

\(P(8)\):

\[ (0.75)^8 \approx 0.1001 \] \[ (0.25)^2 = 0.0625 \] \[ P(8) = 45 \times 0.1001 \times 0.0625 \approx 45 \times 0.00625625 \approx 0.281 \]

\(P(9)\):

\[ (0.75)^9 \approx 0.075 \] \[ (0.25)^1 = 0.25 \] \[ P(9) = 10 \times 0.075 \times 0.25 = 10 \times 0.01875 = 0.1875 \]

Шаг 5: Итоговая вероятность

\[ P = P(7) + P(8) + P(9) \approx 0.2503 + 0.281 + 0.1875 = 0.7188 \]

Ответ: вероятность того, что Олег решит от 7 до 9 задач, примерно равна 0,719 или 71,9%.

Если нужны более точные значения, можно использовать калькулятор или программное обеспечение для вычислений.