Розв’язати цю задачу можна, використовуючи поняття про похилі, їх проекції та відстань від точки до площини. Для зручності позначимо:
- Точка (A), від якої проведені похилі (A B) і (A C).
- Відрізки (A B) та (A C) — похилі.
- Проекції похилих на площину — (A B' = 10) см і (A C' = 2) см.
- Довжини похилих — (A B) і (A C).
- Різниця довжин похилих — 4 см: (A B - A C = 4) см.
- Відстань від точки (A) до площини — шукане.
Крок 1: Записати відомі дані
[
A B - A C = 4 \text{ см}
]
[
A B' = 10 \text{ см}
]
[
A C' = 2 \text{ см}
]
Крок 2: Встановити зв’язки між похилими та їх проекціями
Якщо розглянути похилі як гіпотенузи трикутників з прямими кутами між висотою (відстанню від точки до площини) і проекцією на площину, то:
[
A B^2 = (A B')^2 + h^2
]
[
A C^2 = (A C')^2 + h^2
]
де (h) — відстань від точки (A) до площини.
Крок 3: Ввести позначення та записати рівняння
Позначимо:
[
A B = x
]
[
A C = y
]
Тоді:
[
x - y = 4 \quad \quad (1)
]
За визначенням:
[
x^2 = 10^2 + h^2 = 100 + h^2
]
[
y^2 = 2^2 + h^2 = 4 + h^2
]
Крок 4: Вивести рівняння для (x) та (y)
З рівнянь (1):
[
x = y + 4
]
Крім того, з рівнянь для довжин похилих:
[
x^2 = 100 + h^2
]
[
y^2 = 4 + h^2
]
Підставимо (x = y + 4) у рівняння для (x^2):
[
(y + 4)^2 = 100 + h^2
]
Розкриємо квадрат:
[
y^2 + 8 y + 16 = 100 + h^2
]
З рівняння для (y^2):
[
y^2 = 4 + h^2
]
Підставимо в попереднє:
[
4 + h^2 + 8 y + 16 = 100 + h^2
]
Звідси скасуємо (h^2):
[
4 + 8 y + 16 = 100
]
Спрощуємо:
[
20 + 8 y = 100
]
Звідси:
[
8 y = 80
]
[
y = 10
]
З рівняння (x = y + 4):
[
x = 10 + 4 = 14
]
Крок 5: Знайти відстань (h)
За формулою:
[
y^2 = 4 + h^2
]
Маємо:
[
10^2 = 4 + h^2
]
[
100 = 4 + h^2
]
[
h^2 = 96
]
Отже,
[
h = \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4 \sqrt{6}
]
Відповідь:
[
\boxed{
h = 4 \sqrt{6} \text{ см}
}
]
це — відстань від точки до площини.
