9.3 точки до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких 4см. Проекції похилих дорівнюють 10 і 2 см. Знайти відстань від точки до площини
Розв’язати цю задачу можна, використовуючи поняття про похилі, їх проекції та відстань від точки до площини. Для зручності позначимо:
- Точка \(A\), від якої проведені похилі \(A B\) і \(A C\).
- Відрізки \(A B\) та \(A C\) — похилі.
- Проекції похилих на площину — \(A B' = 10\) см і \(A C' = 2\) см.
- Довжини похилих — \(A B\) і \(A C\).
- Різниця довжин похилих — 4 см: \(A B - A C = 4\) см.
- Відстань від точки \(A\) до площини — шукане.
Крок 1: Записати відомі дані
\[ A B - A C = 4 \text{ см} \] \[ A B' = 10 \text{ см} \] \[ A C' = 2 \text{ см} \]
Крок 2: Встановити зв’язки між похилими та їх проекціями
Якщо розглянути похилі як гіпотенузи трикутників з прямими кутами між висотою (відстанню від точки до площини) і проекцією на площину, то:
\[ A B^2 = (A B')^2 + h^2 \] \[ A C^2 = (A C')^2 + h^2 \]
де \(h\) — відстань від точки \(A\) до площини.
Крок 3: Ввести позначення та записати рівняння
Позначимо: \[ A B = x \] \[ A C = y \]
Тоді: \[ x - y = 4 \quad \quad (1) \]
За визначенням:
\[ x^2 = 10^2 + h^2 = 100 + h^2 \] \[ y^2 = 2^2 + h^2 = 4 + h^2 \]
Крок 4: Вивести рівняння для \(x\) та \(y\)
З рівнянь (1):
\[ x = y + 4 \]
Крім того, з рівнянь для довжин похилих:
\[ x^2 = 100 + h^2 \] \[ y^2 = 4 + h^2 \]
Підставимо \(x = y + 4\) у рівняння для \(x^2\):
\[ (y + 4)^2 = 100 + h^2 \]
Розкриємо квадрат:
\[ y^2 + 8 y + 16 = 100 + h^2 \]
З рівняння для \(y^2\):
\[ y^2 = 4 + h^2 \]
Підставимо в попереднє:
\[ 4 + h^2 + 8 y + 16 = 100 + h^2 \]
Звідси скасуємо \(h^2\):
\[ 4 + 8 y + 16 = 100 \]
Спрощуємо:
\[ 20 + 8 y = 100 \]
Звідси:
\[ 8 y = 80 \] \[ y = 10 \]
З рівняння \(x = y + 4\):
\[ x = 10 + 4 = 14 \]
Крок 5: Знайти відстань \(h\)
За формулою:
\[ y^2 = 4 + h^2 \]
Маємо:
\[ 10^2 = 4 + h^2 \] \[ 100 = 4 + h^2 \] \[ h^2 = 96 \]
Отже,
\[ h = \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4 \sqrt{6} \]
Відповідь:
\[ \boxed{ h = 4 \sqrt{6} \text{ см} } \]
це — відстань від точки до площини.
