В двух сосудах содержатся растворы уксусной кислоты — в первом сосуде 50%-й раствор, во втором сосуде 25%-й раствор. Из первого сосуда 2 л раствора перелили во второй. Жидкость во…

Дано:

• В первом сосуде изначально 10 литров раствора, концентрация 50%.
• Во втором сосуде изначально неизвестно количество раствора, обозначим его за \( x \) литров, концентрация 25%.
• Затем из первого сосуда перелили 2 литра раствора во второй.
• В втором сосуде перемешали, затем из второго перелили 2 литра раствора обратно в первый, и снова перемешали.
• После всего этого концентрация раствора в первом сосуде стала 46%.

Задача: найти сколько было литров во втором сосуде изначально (то есть \( x \)).

Шаг 1: Изначальные количества и концентрации

• В первом сосуде:
  \[ V_1 = 10 \text{ литров}, \quad C_1 = 50\% \]

  Количество чистой уксусной кислоты в первом сосуде изначально:
  \[ A_1 = V_1 \times 0.5 = 10 \times 0.5 = 5 \text{ литров} \]

• Во втором сосуде:
  \[ V_2 = x, \quad C_2 = 25\% \]

  Количество уксусной кислоты:
  \[ A_2 = x \times 0.25 \]

Шаг 2: Переливание 2 литров из первого сосуда во второй

• Из первого сосуда переливают 2 литра раствора, концентрация которого 50%.
  Количество уксуса в этой порции:
  \[ 2 \times 0.5 = 1 \text{ литр} \]

• В первом сосуде после переливания остается:
  \[ V_1' = 10 - 2 = 8 \text{ литров} \] Количество уксуса:
  \[ A_1' = 5 - 1 = 4 \text{ литров} \]

• Во втором сосуде после добавления 2 литров:
  Объем:
  \[ V_2' = x + 2 \] Количество уксуса:
  \[ A_2' = A_2 + 1 = 0.25x + 1 \]

Шаг 3: Перемешивание во втором сосуде и переливание 2 литров обратно

• Концентрация во втором сосуде после добавления:
  \[ C_2' = \frac{A_2'}{V_2'} = \frac{0.25x + 1}{x + 2} \]

• Из этого сосуда берут 2 литра раствора, концентрация которого равна \( C_2' \).
  Количество уксуса в этой порции:
  \[ 2 \times C_2' = 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} \]

• В первом сосуде после возврата:
  Объем:
  \[ V_1'' = 8 + 2 = 10 \text{ литров} \]

  Количество уксуса:
  \[ A_1'' = 4 + 2 \times C_2' = 4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} \]

Шаг 4: Итоговая концентрация в первом сосуде равна 46%

• Итоговое количество уксуса в первом сосуде после всех операций должно соответствовать 46% от общего объема (10 л):
  \[ A_1'' = 10 \times 0.46 = 4.6 \text{ литров} \]

• Запишем уравнение:
  \[ 4 + 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 4.6 \]

Шаг 5: Решение уравнения

Переносим 4 в правую часть:
\[ 2 \times \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.6 \]

Делим обе части на 2:
\[ \frac{0.25x + 1}{x + 2} = 0.3 \]

Раскроем уравнение и решим его:
\[ 0.25x + 1 = 0.3(x + 2) \]

Раскроем скобки:
\[ 0.25x + 1 = 0.3x + 0.6 \]

Перенесем слагаемые:
\[ 0.25x - 0.3x = 0.6 - 1 \] \[ -0.05x = -0.4 \]

Найдём \( x \):
\[ x = \frac{-0.4}{-0.05} = 8 \]

Ответ:

Во втором сосуде было 8 литров.

Итог: 8