Привет! Давай вместе разберёмся с задачами по интегралам, которые ты прислал.
Ты указал пункт "1. а)", поэтому я сфокусируюсь на первом примере:
∫(e^(x)/(3e^(x) + k)) dx
Здесь нам нужно найти неопределённый интеграл. Для начала обрати внимание, что если взять k в качестве константы и вынести его за пределы интеграла или попробовать разделить числитель на знаменатель, задача не упростится. В таких случаях часто помогает замена переменной.
Давай попробуем выразить знаменатель через u так, чтобы числитель стал похож на du. Если положить:
u = 3e^(x) + k, тогда:
du/dx = 3e^(x), и значит dx = du/(3e^(x)).
Теперь выразим dx через du и подставим в интеграл:
∫(e^(x)/u) * (du/(3e^(x))) = 1/3 ∫(1/u) du.
Интеграл от 1/u это логарифм, так что получается:
(1/3)ln|u| + C, где C – константа интегрирования.
Вернемся к исходной переменной x, подставив обратно u = 3e^(x) + k:
(1/3)ln|3e^(x) + k| + C.
Вот и всё! Надеюсь, это поможет тебе с остальными примерами. Удачи с математикой!
