Геометрия 8 класс. Длины отрезков Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 7, 9 и 12. 1) Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 7. 2) Найдите длину наименьшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 7.

Давайте подробно разберем задачу, чтобы понять, как найти искомые длины отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника, и как связаны эти деления со свойствами вписанной окружности. --- **Дано:** - В треугольнике есть стороны со длиннами: 7, 9, 12. - Окружность касается всех сторон треугольника (вписанная окружность). - Точка касания делит сторону длины 7 на два отрезка. Обозначим: - Пусть сторона длиной 7 — это \( BC \), с точкой касания \( D \). Тогда \( D \) — точка касания окружности со стороной \( BC \). - Пусть \( BD = x \), тогда \( DC = 7 - x \). --- ### Шаг 1: Свойства касания вписанной окружности Касательная из одной точки к окружности касается ее в одной точке и равна для всех касательных, исходящих из одной точки. Аналогично, — важное свойство: **Если окружность вписана в треугольник, то длины отрезков, на которые точка касания делит стороны, связаны с длинами сторон и с полуумными сторон.** --- ### Шаг 2: Специальные обозначения и обозначие переменных Обозначим все стороны треугольника: - \( BC = a = 7 \) - \( AC = b \) - \( AB = c \) Изначально известно, что \( a = 7 \), а также есть в наличии стороны 9 и 12, так как задача подразумевает, что стороны — это 7, 9 и 12. Обозначим: - \( BC = a = 7 \) (сторона, деление которой ищем) - \( AC = b = 9 \) - \( AB = c = 12 \) --- ### Шаг 3: Распределение касательных сегментов Обозначим: - Точка касания \( D \) делит сторону \( BC \) на отрезки: \( BD = x \), \( DC = 7 - x \). Из свойств вписанной окружности: - От точки касания к вершинам, прилегающим к данной стороне, касательные равны. - Тогда, касательные к окружности из разных вершин равны при одинаковых точках касания. --- ### Шаг 4: Расположение касательных сегментов Определим, как касательная из вершины \( B \) и \( C \) со стороны \( BC \), связана со делением: - Из вершины \( B \) касательная к окружности — это \( Ba \) и \( Bd \), - Из вершины \( C \) — \( Ca \) и \( Cd \). Где \( d \) — точка касания, которая делит сторону \( BC \), то есть \( BD = x \), \( DC = 7 - x \). Из свойств, касательная из вершины равна — значит: \[ BX = \text{касающаяся сегмента из } B, \quad CX = \text{касающаяся сегмента из } C. \] --- ### Шаг 5: Формулы для делений касательных Значит, что: \[ \text{Касательные из } B: \quad s - a, \quad s - c, \quad s - b, \] где \( s \) — полупериметр треугольника. Но тут важно понять, что длины касательных от вершины до точки касания связаны со сторонами. Чтобы упростить, используем следующую известную формулу: \[ BD = s - b, \quad DC = s - c, \] где \( s = \frac{a + b + c}{2} \). --- ### Шаг 6: Вычисление полупериметра \( s \) \[ s = \frac{7 + 9 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14. \] Тогда: \[ BD = s - b = 14 - 9 = 5, \] \[ DC = s - c = 14 - 12 = 2. \] Обратите внимание: сумма \( BD + DC = 5 + 2 = 7 \), что совпадает с длиной стороны \( BC \). --- ### **Ответ на первый пункт:** - **Наибольший из отрезков, на которые делит сторону длины 7:** \(\boxed{BD = 5}\). - **Наименьший из этих отрезков:** \(\boxed{DC = 2}\). --- ### Итог: 1. **Длина наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону 7 — это 5.** 2. **Длина наименьшего — это 2.** --- Если есть дополнительные вопросы или нужно разобраться с другими сторонами, дайте знать!