Геометрия 8 класс. Длины отрезков Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 7, 9 и 12. 1) Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит…

Давайте подробно разберем задачу, чтобы понять, как найти искомые длины отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника, и как связаны эти деления со свойствами вписанной окружности.

---

Дано:

• В треугольнике есть стороны со длиннами: 7, 9, 12.
• Окружность касается всех сторон треугольника (вписанная окружность).
• Точка касания делит сторону длины 7 на два отрезка.

Обозначим:

• Пусть сторона длиной 7 — это \( BC \), с точкой касания \( D \). Тогда \( D \) — точка касания окружности со стороной \( BC \).
• Пусть \( BD = x \), тогда \( DC = 7 - x \).

---

Шаг 1: Свойства касания вписанной окружности

Касательная из одной точки к окружности касается ее в одной точке и равна для всех касательных, исходящих из одной точки.
Аналогично, — важное свойство:

Если окружность вписана в треугольник, то длины отрезков, на которые точка касания делит стороны, связаны с длинами сторон и с полуумными сторон.

---

Шаг 2: Специальные обозначения и обозначие переменных

Обозначим все стороны треугольника:

• \( BC = a = 7 \)
• \( AC = b \)
• \( AB = c \)

Изначально известно, что \( a = 7 \), а также есть в наличии стороны 9 и 12, так как задача подразумевает, что стороны — это 7, 9 и 12.

Обозначим:

• \( BC = a = 7 \) (сторона, деление которой ищем)
• \( AC = b = 9 \)
• \( AB = c = 12 \)

---

Шаг 3: Распределение касательных сегментов

Обозначим:

• Точка касания \( D \) делит сторону \( BC \) на отрезки: \( BD = x \), \( DC = 7 - x \).

Из свойств вписанной окружности:

• От точки касания к вершинам, прилегающим к данной стороне, касательные равны.
• Тогда, касательные к окружности из разных вершин равны при одинаковых точках касания.

---

Шаг 4: Расположение касательных сегментов

Определим, как касательная из вершины \( B \) и \( C \) со стороны \( BC \), связана со делением:

• Из вершины \( B \) касательная к окружности — это \( Ba \) и \( Bd \),
• Из вершины \( C \) — \( Ca \) и \( Cd \).

Где \( d \) — точка касания, которая делит сторону \( BC \), то есть \( BD = x \), \( DC = 7 - x \).

Из свойств, касательная из вершины равна — значит:

\[ BX = \text{касающаяся сегмента из } B, \quad CX = \text{касающаяся сегмента из } C. \]

---

Шаг 5: Формулы для делений касательных

Значит, что:

\[ \text{Касательные из } B: \quad s - a, \quad s - c, \quad s - b, \]

где \( s \) — полупериметр треугольника.

Но тут важно понять, что длины касательных от вершины до точки касания связаны со сторонами.

Чтобы упростить, используем следующую известную формулу:

\[ BD = s - b, \quad DC = s - c, \]

где \( s = \frac{a + b + c}{2} \).

---

Шаг 6: Вычисление полупериметра \( s \)

\[ s = \frac{7 + 9 + 12}{2} = \frac{28}{2} = 14. \]

Тогда:

\[ BD = s - b = 14 - 9 = 5, \] \[ DC = s - c = 14 - 12 = 2. \]

Обратите внимание: сумма \( BD + DC = 5 + 2 = 7 \), что совпадает с длиной стороны \( BC \).

---

Ответ на первый пункт:

• Наибольший из отрезков, на которые делит сторону длины 7:
  \(\boxed{BD = 5}\).

• Наименьший из этих отрезков:
  \(\boxed{DC = 2}\).

---

Итог:

1. Длина наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону 7 — это 5.
2. Длина наименьшего — это 2.

---

Если есть дополнительные вопросы или нужно разобраться с другими сторонами, дайте знать!