если в точке с абсциссой x0 функция имеет экстремум, то тангенс угла наклона касательной в этой точке к графику tg альфа =0

Давайте подробнее разберем задачу:

Условие:
"Если в точке с абсциссой \( x_0 \) функция имеет экстремум, то тангенс угла наклона касательной к графику равен нулю: \( \tan \alpha = 0 \)."

Пояснения и решение:

1. Что такое экстремум функции?
   Экстремум — это точка, в которой функция достигает локального максимума или минимума. В этих точках графика функции переводится из возрастающего в убывающее или наоборот.

2. Критерий наличия экстремума:
   В точке \( x_0 \) — возможный экстремум — производная функции \( y = f(x) \) равна нулю:
   \[ f'(x_0) = 0 \] Это условие является необходимым для экстремума (при наличии дифференцируемости функции).

3. Связь угла наклона касательной и производной:
   Угол наклона касательной к графику функции в точке \( x_0 \) обозначим через \( \alpha \).

   • Тангенс этого угла, \( \tan \alpha \), равен значению производной в этой точке:
     \[ \tan \alpha = f'(x_0) \]

   — так как тангенс наклона касательной равен значению её угла, а в общем случае, для касательной к графику функции — это производная.

4. Что происходит в точке экстремума?
   Поскольку \( f'(x_0) = 0 \), это означает, что:
   \[ \tan \alpha = 0 \] Тогда угол \( \alpha \) равен нулю или \( \pi \) радиан (180 градусов), то есть касательная горизонтальна.

Итог:

• Если в точке \( x_0 \) функция имеет экстремум, то её производная там равна нулю.
• Так как тангенс угла наклона касательной равен производной, то в этой точке:
  \[ \tan \alpha = 0 \] — то есть касательная в этой точке горизонтальна, угол \( \alpha = 0^\circ \) или \( 180^\circ \).

Ответ:

Если в точке с абсциссой \( x_0 \) функция имеет экстремум, то тангенс угла наклона касательной к графику в этой точке равен нулю: \( \boxed{\tan \alpha = 0} \).