Если в точке с абсциссой x0 функция имеет экстремум, то тангенс угла наклона касательной в этой точке к графику tg альфа =0

Давайте подробнее разберем задачу: **Условие:** "Если в точке с абсциссой \( x_0 \) функция имеет экстремум, то тангенс угла наклона касательной к графику равен нулю: \( \tan \alpha = 0 \)." --- ### Пояснения и решение: 1. **Что такое экстремум функции?** Экстремум — это точка, в которой функция достигает локального максимума или минимума. В этих точках графика функции переводится из возрастающего в убывающее или наоборот. 2. **Критерий наличия экстремума:** В точке \( x_0 \) — возможный экстремум — производная функции \( y = f(x) \) равна нулю: \[ f'(x_0) = 0 \] Это условие является необходимым для экстремума (при наличии дифференцируемости функции). 3. **Связь угла наклона касательной и производной:** Угол наклона касательной к графику функции в точке \( x_0 \) обозначим через \( \alpha \). - Тангенс этого угла, \( \tan \alpha \), равен значению производной в этой точке: \[ \tan \alpha = f'(x_0) \] — так как тангенс наклона касательной равен значению её угла, а в общем случае, для касательной к графику функции — это производная. 4. **Что происходит в точке экстремума?** Поскольку \( f'(x_0) = 0 \), это означает, что: \[ \tan \alpha = 0 \] Тогда угол \( \alpha \) равен нулю или \( \pi \) радиан (180 градусов), то есть касательная горизонтальна. --- ### Итог: - Если в точке \( x_0 \) функция имеет экстремум, то её производная там равна нулю. - Так как тангенс угла наклона касательной равен производной, то в этой точке: \[ \tan \alpha = 0 \] — то есть касательная в этой точке горизонтальна, угол \( \alpha = 0^\circ \) или \( 180^\circ \). --- ### Ответ: **Если в точке с абсциссой \( x_0 \) функция имеет экстремум, то тангенс угла наклона касательной к графику в этой точке равен нулю: \( \boxed{\tan \alpha = 0} \).**