Каждый сотрудник предприятия получает электронный пропуск, на котором записаны личный код сотрудника, код подразделения и некоторая дополнительная информация. Личный код состоит…
Каждый сотрудник предприятия получает электронный пропуск, на котором записаны личный код сотрудника, код подразделения и некоторая дополнительная информация. Личный код состоит из 14 символов, каждый из которых может быть заглавной латинской буквой (используется 26 различных букв) или одной из цифр от 0 до 9. Для записи кода на пропуске отведено минимально возможное целое число байт. При этом используют посимвольное кодирование, все символы кодируют одинаковым минимально возможным количеством бит. Код подразделения состоит из 8 символов: на первых пяти позициях могут стоять латинские буквы от A до F, затем – три десятичных цифры. Код подразделения записан на пропуске как двоичное число (используется посимвольное кодирование) и занимает минимально возможное целое число байт. Всего на пропуске хранится 30 байт данных. Сколько байт выделено для хранения дополнительных сведений об одном сотруднике? В ответе запишите только целое число – количество байт.
Давайте пошагово решим задачу.
Дано:
- Всего данных в пропуске — 30 байт.
- Личный код сотрудника (14 символов). Каждый символ — заглавная латинская буква (A-Z) или цифра (0-9). Итого 36 возможных символов.
- Код подразделения — 8 символов:
- Первые 5 — символы из A-F (буквы A, B, C, D, E, F)
- Последние 3 — цифры 0-9
Задача:
Найти сколько байт выделено для хранения дополнительных сведений об одном сотруднике.
Шаг 1. Посчитать, сколько бит занимается код подразделения.
Код подразделения:
- Всего 8 символов
- Первые 5 — из A-F
- Последние 3 — цифры 0-9
Шаг 2. Количество вариантов символов
Для первых 5 символов:
Символы A-F: всего 6 вариантов для каждого
Значит, для 5 символов — \(6^5\) вариантовДля последних 3 символов:
Цифры 0-9: всего 10 вариантов для каждого
Значит, для 3 символов — \(10^3\) вариантов
Шаг 3. Определить минимальное число бит, необходимое для хранения код подразделения
Общее число вариантов — \(6^5 \times 10^3\).
Нам нужно закодировать это число в наименьшее число бит, чтобы окумулировать все возможные варианты.
Минимальное число бит = \(\lceil \log_2 (6^5 \times 10^3) \rceil \)
Это равно:
\[ \lceil \log_2 (6^5) + \log_2 (10^3) \rceil \]
Рассчитаем по частям:
- \(\log_2 (6^5) = 5 \times \log_2 6\)
- \(\log_2 (10^3) = 3 \times \log_2 10\)
Известные значения:
- \(\log_2 6 \approx 2.585\)
- \(\log_2 10 \approx 3.3219\)
Тогда:
\[ 5 \times 2.585 \approx 12.925 \] \[ 3 \times 3.3219 \approx 9.965 \]
Сумма:
\[ 12.925 + 9.965 \approx 22.89 \]
Означает, что минимальное число бит = \(\lceil 22.89 \rceil = 23 \)
Шаг 4. Количество байт для хранения кода подразделения
Обратите внимание — в условии сказано: "используют посимвольное кодирование, все символы кодируют одинаковым количеством бит, и занимает минимально возможное целое число байт."
Правило:
- Количество байт — минимальное целое число, достаточное для хранения 23 бит.
Количество байт — это:
\[ \text{число байт} = \lceil \frac{\text{число бит}}{8} \rceil \]
\[ \frac{23}{8} = 2.875 \]
Так как число должно быть целым и полным, округляем в большую сторону:
\[ 2.875 \rightarrow 3 \]
Код подразделения занимает 3 байта.
Шаг 5. Посчитать количество байт, отведённых под личный код
- Личный код — 14 символов.
- Варианты символов: 36 (A-Z и 0-9).
Рассчитаем минимальные биты:
\[ \lceil \log_2 36 \rceil \]
\(\log_2 36 \approx 5.17\), значит:
\[ \lceil 5.17 \rceil = 6 \]
- Для 14 символов потребуется:
\[ 14 \times 6 = 84 \text{ бит} \]
- Количество байт для личного кода:
\[ \lceil 84 / 8 \rceil = \lceil 10.5 \rceil = 11 \text{ байт} \]
Шаг 6. Итоговая сумма
Общий объём данных:
\[ \text{Личный код} + \text{Код подразделения} + \text{Дополнительные сведения} \]
Общий объём — 30 байт.
Найти количество байт для дополнительных сведений:
\[ \text{Дополнительных} = 30 - (\text{байт для личного кода} + \text{байт для кода подразделения}) \]
Подставляем значения:
\[ = 30 - (11 + 3) = 30 - 14 = 16 \]
Итвачный ответ:
16
Ответ: 16
