Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Треугольник ( ABC ), где ( AB ) — гипотенуза и равна 1.
- Угол ( A ) равен 45°. Углы в треугольнике: ( A = 45^\circ ), ( C = 45^\circ ) и, следовательно, ( B = 90^\circ ).
- Таким образом, треугольник — прямоугольный и равнобедренный.
Обоснование:
В прямоугольном треугольнике, если два угла равны 45°, значит треугольник — равнобедренный и катеты равны.
Шаг 1. Определение сторон
Обозначим стороны:
- Гипотенуза ( AB = 1 )
- Катеты: ( AC = BC = x )
Так как угол ( A = 45^\circ ), а треугольник — прямоугольный, то по свойствам равнобедренного прямоугольного треугольника:
[ \text{Гипотенуза} = x \sqrt{2} ]
Именно так: для равнобедренного прямоугольного треугольника, катеты равны ( x ), а гипотенуза — ( x \sqrt{2} ).
Шаг 2. Найдём катет ( x )
По условию:
[ AB = 1 = x \sqrt{2} ]
Отсюда
[ x = \frac{1}{\sqrt{2}} ]
или, рационализировав знаменатель:
[ x = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]
Значит:
[ AC = BC = \frac{\sqrt{2}}{2} ]
Шаг 3. Найдём площадь треугольника
Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника по формуле:
[ S = \frac{1}{2} \times \text{катет}^2 ]
или, поскольку катеты равны ( x ):
[ S = \frac{1}{2} \times x^2 ]
Подставляем ( x = \frac{\sqrt{2}}{2} ):
[ S = \frac{1}{2} \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 ]
Рассчитаем ( x^2 ):
[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} ]
Следовательно:
[ S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} ]
Ответ:
Площадь прямоугольного треугольника ( ABC ), где гипотенуза равна 1 и угол ( A = 45^\circ ), равна:
[
\boxed{\frac{1}{4}}
]
