вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x(4-x) и осью абсцисс
Конечно! Давайте подробно разберем задачу: вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = x(4 - x) \) и осью абсцисс.
Шаг 1: Понимание задачи
Функция \( y = x(4 - x) \) — это квадратичная функция, которая задает параболу. Эта парабола расположена так, что её график ограничен сверху телом функции, а снизу — осью абсцисс (ось \( x \)).
Нам нужно найти площадь области, ограниченной графиком этой функции и осью \( x \). В математике это означает — вычислить определенный интеграл функции между точками, где график пересекает ось \( x \).
Шаг 2: Находим точки пересечения графика с осью \( x \)
Чтобы найти эти точки, решим уравнение \( y=0 \):
\[ x(4 - x) = 0 \]
Это уравнение равно нулю, когда:
\[ x = 0 \quad \text{или} \quad 4 - x = 0 \Rightarrow x=4 \]
Итак, график пересекает ось \( x \) в точках \( x=0 \) и \( x=4 \).
Шаг 3: Записываем задачу по поиску площади
Площадь области под графиком функции от \( x=0 \) до \( x=4 \) есть определенный интеграл функции \( y = x(4 - x) \) на этом промежутке:
\[ S = \int_{0}^{4} x(4 - x) \, dx \]
Шаг 4: Раскроем скобки и упростим интеграл
Раскроем выражение под интегралом:
\[ x(4 - x) = 4x - x^2 \]
Теперь задача — найти:
\[ S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx \]
Шаг 5: Вычисление интеграла
Рассчитаем по частям:
\[ \int (4x) \, dx = 2x^2 \]
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \]
Итак, получим:
\[ S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 \]
Шаг 6: Подставим границы интегрирования
Подставляем \( x=4 \):
\[ 2 \times 4^2 - \frac{4^3}{3} = 2 \times 16 - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3} \]
Подставляем \( x=0 \):
\[ 0 - 0 = 0 \]
Итого:
\[ S = 32 - \frac{64}{3} \]
Перепишем в единой дроби:
\[ S = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Площадь фигуры} = \frac{32}{3} } \]
или примерно:
\[ \boxed{ \text{Площадь} \approx 10.67 \text{ единиц площади} } \]
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами — обращайся!
