Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x(4-x) и осью абсцисс

Конечно! Давайте подробно разберем задачу: вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = x(4 - x) \) и осью абсцисс. --- ### Шаг 1: Понимание задачи Функция \( y = x(4 - x) \) — это квадратичная функция, которая задает параболу. Эта парабола расположена так, что её график ограничен сверху телом функции, а снизу — осью абсцисс (ось \( x \)). Нам нужно найти площадь области, ограниченной графиком этой функции и осью \( x \). В математике это означает — вычислить определенный интеграл функции между точками, где график пересекает ось \( x \). --- ### Шаг 2: Находим точки пересечения графика с осью \( x \) Чтобы найти эти точки, решим уравнение \( y=0 \): \[ x(4 - x) = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 4 - x = 0 \Rightarrow x=4 \] **Итак, график пересекает ось \( x \) в точках \( x=0 \) и \( x=4 \).** --- ### Шаг 3: Записываем задачу по поиску площади Площадь области под графиком функции от \( x=0 \) до \( x=4 \) есть **определенный интеграл** функции \( y = x(4 - x) \) на этом промежутке: \[ S = \int_{0}^{4} x(4 - x) \, dx \] --- ### Шаг 4: Раскроем скобки и упростим интеграл Раскроем выражение под интегралом: \[ x(4 - x) = 4x - x^2 \] Теперь задача — найти: \[ S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx \] --- ### Шаг 5: Вычисление интеграла Рассчитаем по частям: \[ \int (4x) \, dx = 2x^2 \] \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Итак, получим: \[ S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 \] --- ### Шаг 6: Подставим границы интегрирования Подставляем \( x=4 \): \[ 2 \times 4^2 - \frac{4^3}{3} = 2 \times 16 - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3} \] Подставляем \( x=0 \): \[ 0 - 0 = 0 \] Итого: \[ S = 32 - \frac{64}{3} \] Перепишем в единой дроби: \[ S = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь фигуры} = \frac{32}{3} } \] или примерно: \[ \boxed{ \text{Площадь} \approx 10.67 \text{ единиц площади} } \] --- Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами — обращайся!