Давайте подробно разберем решением уравнения:
[
(x^2 - 9)^2 + (x^2 - 2x - 15)^2 = 0
]
Общая идея:
Так как это сумма двух квадратов равна нулю, то каждый из этих квадратов должен быть равен нулю. Ведь квадрат — неотрицательное число, и сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если оба они равны нулю.
Шаг 1: Переходим к системе уравнений
Запишем:
[
(x^2 - 9)^2 = 0 \quad \text{и} \quad (x^2 - 2x - 15)^2 = 0
]
Это возможно только если:
[
x^2 - 9 = 0 \quad \text{и} \quad x^2 - 2x - 15 = 0
]
Шаг 2: Решение первого уравнения
[
x^2 - 9 = 0
]
Переносим и получаем:
[
x^2 = 9
]
Теперь берем корень из обеих частей:
[
x = \pm 3
]
Итак, из первого уравнения получены два возможных значения:
[
x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3
]
Шаг 3: Проверка второго уравнения
Теперь подставим эти значения в второе уравнение:
[
x^2 - 2x - 15 = 0
]
Для (x=3):
[
(3)^2 - 2 \cdot 3 - 15 = 9 - 6 - 15 = -12 \neq 0
]
Значит, для (x=3) выражение не равно нулю, и, следовательно, это не решение исходного уравнения.
Для (x=-3):
[
(-3)^2 - 2 \cdot (-3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0
]
Это равно нулю, значит, это решение подходит.
Итог:
Только одно значение (x=-3) удовлетворяет обоим уравнениям и, следовательно, решению исходного уравнения.
Итоговое решение:
[
\boxed{
x = -3
}
]
Ответ:
Решение уравнения — (x = -3).
