Двух сосудах содержатся растворы уксусной кислоты в первом сосуде 50% раствор во втором сосуде 25% раствор из первого сосуда 2 л раствора перелили во второй жидкость во втором сосуде перемешали затем из второго сосуда 2 л раствора перелили в первый и также перемешали после этого концентрация раствора в первом сосуде стала 46% известно что первоначально было 10 литров раствора тогда во втором сосуде было ... литров

Рассмотрим условие задачи пошагово и подробно. Дано: - Общее начальное количество раствора — 10 л. - Первый сосуд содержит 50% раствор уксусной кислоты. - Второй сосуд содержит 25% раствор уксусной кислоты. - Из первого сосуда изливают 2 л раствора во второй сосуд. - Затем перемешивают. - Потом из второго сосуда изливают 2 л раствора обратно в первый сосуд. - Определяют, что после этого концентрация в первом сосуде стала 46%. Задача: найти сколько литров было изначально во втором сосуде. --- ### Обозначения: Пусть: - В первом сосуде изначально было \(x\) литров раствора. - Тогда во втором сосуде было \(10 - x\) литров. --- ### Шаг 1: Начальные концентрации - В первом сосуде: \( 50\% \rightarrow 0.5x \) литров уксуса. - Во втором сосуде: \( 25\% \rightarrow 0.25(10 - x) \) литров уксуса. --- ### Шаг 2: Переливание из первого сосуда во второй Из первого сосуда переливают 2 л раствора с концентрацией: \[ \frac{0.5x}{x} = 0.5 \] то есть 50%. - Количество уксуса, входящего в второй сосуд при этом: \( 2 \times 0.5 = 1 \) л. - Количество раствора, поступающего во второй сосуд: 2 л. --- ### Шаг 3: Обновление содержимого второго сосуда после переливания - В содержимом второго сосуда было \( (10 - x) \) л раствора, в том числе уксуса — \( 0.25(10 - x) \). После добавления 2 л раствора с уксусом: - Общий объем во втором сосуде: \( (10 - x) + 2 = 12 - x \). - Общее количество уксуса: \( 0.25(10 - x) + 1 \). --- ### Шаг 4: Концентрация во втором сосуде перед возвратом \[ C_{2} = \frac{0.25(10 - x) + 1}{12 - x} \] --- ### Шаг 5: Переливание из второго сосуда обратно в первый сосуд Из второго сосуда берут 2 л раствора с концентрацией \( C_{2} \). - Количество уксуса, взятого из второго сосуда: \( 2 \times C_{2} \). Это количество уксуса добавляется в первый сосуд, поэтому: - В первом сосуде: было \( 0.5x \) уксуса, после добавления: \( 0.5x + 2 \times C_{2} \). - Объем в первом сосуде: \( x + 2 \). --- ### Шаг 6: Новая концентрация в первом сосуде после возврата Общий уксус в первом сосуде после всех операций: \[ 0.5x + 2 C_{2} \] Объем — \( x + 2 \). По условию, новая концентрация в первом сосуде стала 46%: \[ \frac{0.5x + 2 C_{2}}{x + 2} = 0.46 \] --- ### Шаг 7: Подставим выражение для \( C_{2} \) \[ C_{2} = \frac{0.25(10 - x) + 1}{12 - x} \] Подставляем в уравнение: \[ \frac{0.5x + 2 \times \frac{0.25(10 - x) + 1}{12 - x}}{x + 2} = 0.46 \] --- ### Шаг 8: Решение уравнения Перенесем все в числитель и знаменатель: \[ \frac{0.5x (12 - x) + 2 [0.25(10 - x) + 1]}{(x + 2)(12 - x)} = 0.46 \] Путем умножения обеих частей на знаменатель ответного выражения: \[ 0.5x (12 - x) + 2 [0.25(10 - x) + 1] = 0.46 (x + 2)(12 - x) \] --- ### Шаг 9: Раскрой скобки Левая часть: \[ 0.5x (12 - x) = 6x - 0.5x^2 \] Вторая часть: \[ 2 [0.25(10 - x) + 1] = 2 \times [2.5 - 0.25x + 1] = 2 \times (3.5 - 0.25x) = 7 - 0.5x \] Также упростим правую часть: \[ 0.46 (x + 2)(12 - x) \] Раскроем скобки: \[ (x + 2)(12 - x) = 12x + 24 - x^2 - 2x = (12x - 2x) + 24 - x^2 = 10x + 24 - x^2 \] Тогда правая часть: \[ 0.46 (10x + 24 - x^2) \] --- ### Шаг 10: Собираем уравнение Левая часть: \[ 6x - 0.5 x^2 + 7 - 0.5 x \] Объединим подобные: \[ (6x - 0.5x) + 7 - 0.5x^2 = (5.5x) + 7 - 0.5 x^2 \] Правая часть: \[ 0.46 \times 10x + 0.46 \times 24 - 0.46 x^2 = 4.6x + 11.04 - 0.46 x^2 \] Теперь уравнение выглядит так: \[ 5.5x + 7 - 0.5 x^2 = 4.6x + 11.04 - 0.46 x^2 \] --- ### Шаг 11: Перенесем все в левую сторону \[ (5.5x - 4.6x) + (7 - 11.04) + (-0.5x^2 + 0.46 x^2) = 0 \] Вычитаем: \[ 0.9x - 4.04 + (-0.04 x^2) = 0 \] или: \[ -0.04 x^2 + 0.9x - 4.04 = 0 \] Упростим, умножив обе части на 100 для избавления от дробей: \[ -4 x^2 + 90 x - 404 = 0 \] Обратим знак: \[ 4 x^2 - 90 x + 404 = 0 \] --- ### Шаг 12: Решение квадратного уравнения Дискриминант: \[ D = (-90)^2 - 4 \times 4 \times 404 = 8100 - 4 \times 4 \times 404 \] Посчитаем: \[ 4 \times 4 = 16 \] \[ 16 \times 404 = 6464 \] Следовательно: \[ D = 8100 - 6464 = 1636 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{90 \pm \sqrt{1636}}{2 \times 4} = \frac{90 \pm \sqrt{1636}}{8} \] Упростим \(\sqrt{1636}\): Ближайшие квадраты: \(40^2 = 1600\), разница 36, значит: \[ \sqrt{1636} \approx 40.45 \] Получаем: 1. \( x_1 = \frac{90 + 40.45}{8} = \frac{130.45}{8} \approx 16.31 \) 2. \( x_2 = \frac{90 - 40.45}{8} = \frac{49.55}{8} \approx 6.19 \) --- ### Шаг 13: Анализ полученных решений - \(x\) — объем раствора в первом сосуде изначально. - Общий объем — 10 литров. Если \(x \approx 16.31\) — это невозможно, так как всего 10 л. Значит, приемлемое решение — \(x \approx 6.19\). Тогда объем раствора во втором сосуде: \[ 10 - x \approx 10 - 6.19 = 3.81\, \text{л} \] --- ## **Ответ:** **Во втором сосуде изначально было примерно 3.81 литров раствора.**