двух сосудах содержатся растворы уксусной кислоты в первом сосуде 50% раствор во втором сосуде 25% раствор из первого сосуда 2 л раствора перелили во второй жидкость во втором…

Рассмотрим условие задачи пошагово и подробно.

Дано:

• Общее начальное количество раствора — 10 л.
• Первый сосуд содержит 50% раствор уксусной кислоты.
• Второй сосуд содержит 25% раствор уксусной кислоты.
• Из первого сосуда изливают 2 л раствора во второй сосуд.
• Затем перемешивают.
• Потом из второго сосуда изливают 2 л раствора обратно в первый сосуд.
• Определяют, что после этого концентрация в первом сосуде стала 46%.

Задача: найти сколько литров было изначально во втором сосуде.

---

Обозначения:

Пусть:

• В первом сосуде изначально было \(x\) литров раствора.
• Тогда во втором сосуде было \(10 - x\) литров.

---

Шаг 1: Начальные концентрации

• В первом сосуде: \( 50\% \rightarrow 0.5x \) литров уксуса.
• Во втором сосуде: \( 25\% \rightarrow 0.25(10 - x) \) литров уксуса.

---

Шаг 2: Переливание из первого сосуда во второй

Из первого сосуда переливают 2 л раствора с концентрацией:

\[ \frac{0.5x}{x} = 0.5 \]

то есть 50%.

• Количество уксуса, входящего в второй сосуд при этом: \( 2 \times 0.5 = 1 \) л.
• Количество раствора, поступающего во второй сосуд: 2 л.

---

Шаг 3: Обновление содержимого второго сосуда после переливания

• В содержимом второго сосуда было \( (10 - x) \) л раствора, в том числе уксуса — \( 0.25(10 - x) \).

После добавления 2 л раствора с уксусом:

• Общий объем во втором сосуде: \( (10 - x) + 2 = 12 - x \).
• Общее количество уксуса: \( 0.25(10 - x) + 1 \).

---

Шаг 4: Концентрация во втором сосуде перед возвратом

\[ C_{2} = \frac{0.25(10 - x) + 1}{12 - x} \]

---

Шаг 5: Переливание из второго сосуда обратно в первый сосуд

Из второго сосуда берут 2 л раствора с концентрацией \( C_{2} \).

• Количество уксуса, взятого из второго сосуда: \( 2 \times C_{2} \).

Это количество уксуса добавляется в первый сосуд, поэтому:

• В первом сосуде: было \( 0.5x \) уксуса, после добавления: \( 0.5x + 2 \times C_{2} \).
• Объем в первом сосуде: \( x + 2 \).

---

Шаг 6: Новая концентрация в первом сосуде после возврата

Общий уксус в первом сосуде после всех операций:

\[ 0.5x + 2 C_{2} \]

Объем — \( x + 2 \).

По условию, новая концентрация в первом сосуде стала 46%:

\[ \frac{0.5x + 2 C_{2}}{x + 2} = 0.46 \]

---

Шаг 7: Подставим выражение для \( C_{2} \)

\[ C_{2} = \frac{0.25(10 - x) + 1}{12 - x} \]

Подставляем в уравнение:

\[ \frac{0.5x + 2 \times \frac{0.25(10 - x) + 1}{12 - x}}{x + 2} = 0.46 \]

---

Шаг 8: Решение уравнения

Перенесем все в числитель и знаменатель:

\[ \frac{0.5x (12 - x) + 2 [0.25(10 - x) + 1]}{(x + 2)(12 - x)} = 0.46 \]

Путем умножения обеих частей на знаменатель ответного выражения:

\[ 0.5x (12 - x) + 2 [0.25(10 - x) + 1] = 0.46 (x + 2)(12 - x) \]

---

Шаг 9: Раскрой скобки

Левая часть:

\[ 0.5x (12 - x) = 6x - 0.5x^2 \]

Вторая часть:

\[ 2 [0.25(10 - x) + 1] = 2 \times [2.5 - 0.25x + 1] = 2 \times (3.5 - 0.25x) = 7 - 0.5x \]

Также упростим правую часть:

\[ 0.46 (x + 2)(12 - x) \]

Раскроем скобки:

\[ (x + 2)(12 - x) = 12x + 24 - x^2 - 2x = (12x - 2x) + 24 - x^2 = 10x + 24 - x^2 \]

Тогда правая часть:

\[ 0.46 (10x + 24 - x^2) \]

---

Шаг 10: Собираем уравнение

Левая часть:

\[ 6x - 0.5 x^2 + 7 - 0.5 x \]

Объединим подобные:

\[ (6x - 0.5x) + 7 - 0.5x^2 = (5.5x) + 7 - 0.5 x^2 \]

Правая часть:

\[ 0.46 \times 10x + 0.46 \times 24 - 0.46 x^2 = 4.6x + 11.04 - 0.46 x^2 \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 5.5x + 7 - 0.5 x^2 = 4.6x + 11.04 - 0.46 x^2 \]

---

Шаг 11: Перенесем все в левую сторону

\[ (5.5x - 4.6x) + (7 - 11.04) + (-0.5x^2 + 0.46 x^2) = 0 \]

Вычитаем:

\[ 0.9x - 4.04 + (-0.04 x^2) = 0 \]

или:

\[ -0.04 x^2 + 0.9x - 4.04 = 0 \]

Упростим, умножив обе части на 100 для избавления от дробей:

\[ -4 x^2 + 90 x - 404 = 0 \]

Обратим знак:

\[ 4 x^2 - 90 x + 404 = 0 \]

---

Шаг 12: Решение квадратного уравнения

Дискриминант:

\[ D = (-90)^2 - 4 \times 4 \times 404 = 8100 - 4 \times 4 \times 404 \]

Посчитаем:

\[ 4 \times 4 = 16 \] \[ 16 \times 404 = 6464 \]

Следовательно:

\[ D = 8100 - 6464 = 1636 \]

Корни уравнения:

\[ x = \frac{90 \pm \sqrt{1636}}{2 \times 4} = \frac{90 \pm \sqrt{1636}}{8} \]

Упростим \(\sqrt{1636}\):

Ближайшие квадраты: \(40^2 = 1600\), разница 36, значит:

\[ \sqrt{1636} \approx 40.45 \]

Получаем:

1. \( x_1 = \frac{90 + 40.45}{8} = \frac{130.45}{8} \approx 16.31 \)
2. \( x_2 = \frac{90 - 40.45}{8} = \frac{49.55}{8} \approx 6.19 \)

---

Шаг 13: Анализ полученных решений

• \(x\) — объем раствора в первом сосуде изначально.
• Общий объем — 10 литров.

Если \(x \approx 16.31\) — это невозможно, так как всего 10 л. Значит, приемлемое решение — \(x \approx 6.19\).

Тогда объем раствора во втором сосуде:

\[ 10 - x \approx 10 - 6.19 = 3.81\, \text{л} \]

---

Ответ:

Во втором сосуде изначально было примерно 3.81 литров раствора.