6. Равнобедренная трапеция с основаниями 10 см и 18 см, и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площади поверхности тела вращения.
Давайте подробно решим задачу.
Условия задачи:
- Равнобедренная трапеция с основаниями 10 см и 18 см, высотой 3 см.
- Трапеция вращается вокруг меньшего основания (то есть вокруг основания длиной 10 см).
- Нужно найти площадь поверхности тела, образуемого при вращении.
Шаг 1. Построение и параметры фигуры
Обозначим:
- \( a = 10\, \text{см} \) — меньшее основание (основа вращения),
- \( b = 18\, \text{см} \) — большее основание,
- \( h = 3\, \text{см} \) — высота трапеции,
- Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны.
Шаг 2. Находим боковую сторону трапеции (\( l \))
Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором катетом является разность длины оснований, деленная на 2, то есть:
\[ \Delta = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 10}{2} = 4\, \text{см} \]
Боковая сторона \( l \) — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \( h = 3\, \text{см} \) и \( \Delta = 4\, \text{см} \):
\[ l = \sqrt{h^2 + \Delta^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, \text{см} \]
Шаг 3. Образование тела вращения
Когда трапеция вращается вокруг меньшего основания (длина \( a = 10\, \text{см} \)), она образует тело, похожее на усечённый конус.
- Верхняя граница — круг радиуса \( R = \frac{a}{2} = 5\, \text{см} \) (так как ось вращения — вокруг основания длиной 10 см, и трапеция расположена так, что при вращении осязает круг с радиусом равным половине меньшего основания),
- Нижняя граница — круг радиуса \( R_{max} = \frac{b}{2} = 9\, \text{см} \) (так как за счет боковых сторон, при вращении дальняя точка достигает радиуса 9 см).
Это похоже на усечённый конус или "срезанный конус", образованный вращением трапеции.
Шаг 4. Определение радиусов верхней и нижней окружностей
- Верхняя окружность: радиус \( R_1 = \frac{a}{2} = 5\, \text{см} \).
- Нижняя окружность: радиус \( R_2 = \frac{b}{2} = 9\, \text{см} \).
Шаг 5. Высота тела вращения
Рекомендуется увидеть, что тело — это усечённый конус с радиусами \( R_1 \) и \( R_2 \).
Высота \( H \) тела — это длина оси между двумя кругами:
При вращении трапеции вокруг меньшего основания ось проходит через центр меньшего основания, а раположение трапеции (высота 3 см) указывает, что тело — это "сужающийся" конус.
Однако в этой задаче просто используют 3 см как вертикальную высоту — это расстояние между двумя кругами.
Шаг 6. Нахождение наклонной (образующей) линии
Образующая поверхность — это линий, соединяющей точки на верхней и нижней окружностях, которая в данном случае равна боковой стороне трапеции, то есть \( l = 5\, \text{см} \).
Для усечённого конуса:
\[ l' = \sqrt{(R_2 - R_1)^2 + H^2} \]
Но так как \( l = 5\, \textсм \), и радиусы \( R_1=5 \), \( R_2=9 \), то:
\[ l' = \sqrt{(9 - 5)^2 + 3^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\, \textсм \]
Это совпадает с боковой сторон \( l \). Значит, тело — это усечённый конус с радиусами 5 и 9 см и высотой 3 см.
Шаг 7. Формула площади поверхности усечённого конуса
Площадь поверхности усечённого конуса (без основания):
\[ S_{поверхность} = 2\pi R_1 H + 2\pi R_2 l \]
Но для полной поверхности фигуры надо учитывать боковую площадь, которая состоит из двух частей: кольца сверху и снизу. Однако, по условию, нас интересует площадь поверхности тела, образуемого вращением.
Для тела, образованного вращением, площадь боковой поверхности:
\[ S = 2\pi \times \text{средний радиус} \times \леВ месияение боковой образующей \]
или
\[ S = 2\pi R_m \times l' \]
где \( R_m \) — средний радиус:
\[ R_m = \frac{R_1 + R_2}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7\, \textсм \]
или же, более точно, площадь боковой поверхности усеченного конуса:
\[ S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l' \]
подставим значения:
\[ S_{бок} = \pi \times (5 + 9) \times 5 = \pi \times 14 \times 5 = 70\pi\, \text{см}^2 \]
Ответ:
Площадь поверхности тела, образованного вращением трапеции вокруг меньшего основания, равна:
\[ \boxed{ S = 70\pi\, \text{см}^2 } \]
или приближенно:
\[ S \approx 70 \times 3,1416 \approx 219,91\, \text{см}^2 \]
Если нужно более точное обоснование или есть дополнительные требования — скажите!
