6. Равнобедренная трапеция с основаниями 10 см и 18 см, и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площади поверхности тела вращения.

Давайте подробно решим задачу. **Условия задачи:** - Равнобедренная трапеция с основаниями 10 см и 18 см, высотой 3 см. - Трапеция вращается вокруг меньшего основания (то есть вокруг основания длиной 10 см). - Нужно найти площадь поверхности тела, образуемого при вращении. --- ### Шаг 1. Построение и параметры фигуры Обозначим: - \( a = 10\, \text{см} \) — меньшее основание (основа вращения), - \( b = 18\, \text{см} \) — большее основание, - \( h = 3\, \text{см} \) — высота трапеции, - Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны. --- ### Шаг 2. Находим боковую сторону трапеции (\( l \)) Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором катетом является разность длины оснований, деленная на 2, то есть: \[ \Delta = \frac{b - a}{2} = \frac{18 - 10}{2} = 4\, \text{см} \] Боковая сторона \( l \) — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \( h = 3\, \text{см} \) и \( \Delta = 4\, \text{см} \): \[ l = \sqrt{h^2 + \Delta^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, \text{см} \] --- ### Шаг 3. Образование тела вращения Когда трапеция вращается вокруг меньшего основания (длина \( a = 10\, \text{см} \)), она образует тело, похожее на усечённый конус. - Верхняя граница — круг радиуса \( R = \frac{a}{2} = 5\, \text{см} \) (так как ось вращения — вокруг основания длиной 10 см, и трапеция расположена так, что при вращении осязает круг с радиусом равным половине меньшего основания), - Нижняя граница — круг радиуса \( R_{max} = \frac{b}{2} = 9\, \text{см} \) (так как за счет боковых сторон, при вращении дальняя точка достигает радиуса 9 см). Это похоже на усечённый конус или "срезанный конус", образованный вращением трапеции. --- ### Шаг 4. Определение радиусов верхней и нижней окружностей - **Верхняя окружность:** радиус \( R_1 = \frac{a}{2} = 5\, \text{см} \). - **Нижняя окружность:** радиус \( R_2 = \frac{b}{2} = 9\, \text{см} \). --- ### Шаг 5. Высота тела вращения Рекомендуется увидеть, что тело — это усечённый конус с радиусами \( R_1 \) и \( R_2 \). Высота \( H \) тела — это длина оси между двумя кругами: При вращении трапеции вокруг меньшего основания ось проходит через центр меньшего основания, а раположение трапеции (высота 3 см) указывает, что тело — это "сужающийся" конус. **Однако в этой задаче просто используют 3 см как вертикальную высоту — это расстояние между двумя кругами**. --- ### Шаг 6. Нахождение наклонной (образующей) линии Образующая поверхность — это линий, соединяющей точки на верхней и нижней окружностях, которая в данном случае равна боковой стороне трапеции, то есть \( l = 5\, \text{см} \). Для усечённого конуса: \[ l' = \sqrt{(R_2 - R_1)^2 + H^2} \] Но так как \( l = 5\, \textсм \), и радиусы \( R_1=5 \), \( R_2=9 \), то: \[ l' = \sqrt{(9 - 5)^2 + 3^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\, \textсм \] Это совпадает с боковой сторон \( l \). Значит, тело — это усечённый конус с радиусами 5 и 9 см и высотой 3 см. --- ### Шаг 7. Формула площади поверхности усечённого конуса Площадь поверхности усечённого конуса (без основания): \[ S_{поверхность} = 2\pi R_1 H + 2\pi R_2 l \] Но для полной поверхности фигуры надо учитывать боковую площадь, которая состоит из двух частей: кольца сверху и снизу. Однако, по условию, нас интересует **площадь поверхности тела, образуемого вращением**. Для тела, образованного вращением, площадь боковой поверхности: \[ S = 2\pi \times \text{средний радиус} \times \леВ месияение боковой образующей \] или \[ S = 2\pi R_m \times l' \] где \( R_m \) — средний радиус: \[ R_m = \frac{R_1 + R_2}{2} = \frac{5 + 9}{2} = 7\, \textсм \] или же, более точно, площадь боковой поверхности усеченного конуса: \[ S_{бок} = \pi (R_1 + R_2) l' \] подставим значения: \[ S_{бок} = \pi \times (5 + 9) \times 5 = \pi \times 14 \times 5 = 70\pi\, \text{см}^2 \] --- ### **Ответ:** **Площадь поверхности тела, образованного вращением трапеции вокруг меньшего основания, равна:** \[ \boxed{ S = 70\pi\, \text{см}^2 } \] или приближенно: \[ S \approx 70 \times 3,1416 \approx 219,91\, \text{см}^2 \] --- Если нужно более точное обоснование или есть дополнительные требования — скажите!