Илья и Никита красят забор за 7 часов. Никита и Вася красят этот же забор за 6 часов, а Вася и Илья — за 14 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждое действие.

Дано:

• Илья и Никита красят забор за 7 часов.
• Никита и Вася красят забор за 6 часов.
• Вася и Илья красят забор за 14 часов.

Нам нужно найти, за сколько часов мальчики (Илья, Никита и Вася вместе) покрасят забор.

---

Шаг 1. Обозначим скорости работы каждого

Обозначим:

• Скорость Иллия — \(A\) (часть работы в час)
• Скорость Никиты — \(N\)
• Скорость Васи — \(V\)

Общий объем работы — 1 забор. Тогда:

• скорость Ильи — \(A\)
• скорость Никиты — \(N\)
• скорость Васи — \(V\)

Общая скорость работы двух человек — это сумма их скоростей. Тогда из условия:

• \(A + N = \frac{1}{7}\) (так как за 7 часов вместе они делают 1 забор)
• \(N + V = \frac{1}{6}\)
• \(V + A = \frac{1}{14}\)

---

Шаг 2. Запишем систему уравнений

\[ \begin{cases} A + N = \frac{1}{7} \quad (1) \\ N + V = \frac{1}{6} \quad (2) \\ V + A = \frac{1}{14} \quad (3) \end{cases} \]

Нам нужно найти сумму скоростей \(A + N + V\).

---

Шаг 3. Решим систему

Сложим все три уравнения:

\[ (A + N) + (N + V) + (V + A) = \frac{1}{7} + \frac{1}{6} + \frac{1}{14} \]

Это равно:

\[ ( A + N) + ( N + V) + ( V + A) = 2(A + N + V) \]

Потому что каждое из трех выражений содержит два из трех переменных.

Левая часть: \[ 2(A + N + V) \]

Правая часть — сумма дробей: \[ \frac{1}{7} + \frac{1}{6} + \frac{1}{14} \]

Найдем сумму правых дробей. Для этого найдем общий знаменатель. Множители:

• 7
• 6
• 14

Общий знаменатель — 42 (наименьшее общее кратное).

Перепишем дроби:

\[ \frac{1}{7} = \frac{6}{42} \] \[ \frac{1}{6} = \frac{7}{42} \] \[ \frac{1}{14} = \frac{3}{42} \]

Теперь сумму: \[ \frac{6 + 7 + 3}{42} = \frac{16}{42} = \frac{8}{21} \]

Следовательно: \[ 2(A + N + V) = \frac{8}{21} \] \[ A + N + V = \frac{8}{42} = \frac{4}{21} \]

---

Шаг 4. Общая скорость работы троих

Общая скорость всех троих: \[ A + N + V = \frac{4}{21} \]

Значит, чтобы покрасить весь забор (1 рабочий объем), им потребуется: \[ T = \frac{1}{A + N + V} = \frac{1}{\frac{4}{21}} = \frac{21}{4} = 5,25 \text{ часов} \]

или 5 часов и 15 минут.

---

Итог:

Мальчики вместе покрасят забор за \(\boxed{\frac{21}{4} \text{ часов}}\), что равно 5 часов и 15 минут.