Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждое действие.
Дано:
- Илья и Никита красят забор за 7 часов.
- Никита и Вася красят забор за 6 часов.
- Вася и Илья красят забор за 14 часов.
Нам нужно найти, за сколько часов мальчики (Илья, Никита и Вася вместе) покрасят забор.
Шаг 1. Обозначим скорости работы каждого
Обозначим:
- Скорость Иллия — (A) (часть работы в час)
- Скорость Никиты — (N)
- Скорость Васи — (V)
Общий объем работы — 1 забор. Тогда:
- скорость Ильи — (A)
- скорость Никиты — (N)
- скорость Васи — (V)
Общая скорость работы двух человек — это сумма их скоростей. Тогда из условия:
- (A + N = \frac{1}{7}) (так как за 7 часов вместе они делают 1 забор)
- (N + V = \frac{1}{6})
- (V + A = \frac{1}{14})
Шаг 2. Запишем систему уравнений
[
\begin{cases}
A + N = \frac{1}{7} \quad (1) \
N + V = \frac{1}{6} \quad (2) \
V + A = \frac{1}{14} \quad (3)
\end{cases}
]
Нам нужно найти сумму скоростей (A + N + V).
Шаг 3. Решим систему
Сложим все три уравнения:
[
(A + N) + (N + V) + (V + A) = \frac{1}{7} + \frac{1}{6} + \frac{1}{14}
]
Это равно:
[
( A + N) + ( N + V) + ( V + A) = 2(A + N + V)
]
Потому что каждое из трех выражений содержит два из трех переменных.
Левая часть:
[
2(A + N + V)
]
Правая часть — сумма дробей:
[
\frac{1}{7} + \frac{1}{6} + \frac{1}{14}
]
Найдем сумму правых дробей. Для этого найдем общий знаменатель. Множители:
Общий знаменатель — 42 (наименьшее общее кратное).
Перепишем дроби:
[
\frac{1}{7} = \frac{6}{42}
]
[
\frac{1}{6} = \frac{7}{42}
]
[
\frac{1}{14} = \frac{3}{42}
]
Теперь сумму:
[
\frac{6 + 7 + 3}{42} = \frac{16}{42} = \frac{8}{21}
]
Следовательно:
[
2(A + N + V) = \frac{8}{21}
]
[
A + N + V = \frac{8}{42} = \frac{4}{21}
]
Шаг 4. Общая скорость работы троих
Общая скорость всех троих:
[
A + N + V = \frac{4}{21}
]
Значит, чтобы покрасить весь забор (1 рабочий объем), им потребуется:
[
T = \frac{1}{A + N + V} = \frac{1}{\frac{4}{21}} = \frac{21}{4} = 5,25 \text{ часов}
]
или 5 часов и 15 минут.
Итог:
Мальчики вместе покрасят забор за (\boxed{\frac{21}{4} \text{ часов}}), что равно 5 часов и 15 минут.
