вычислите площадь фигуры ограниченной графиком функции f(x)=x+3, g(x) =x^2+1

Давайте решим задачу, вычислив площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(f(x) = x + 3\) и \(g(x) = x^2 + 1\).

Шаг 1. Определение точек пересечения графиков

Чтобы найти области, ограниченные этими графиками, сначала найдём точки их пересечения, решая уравнение: \[ f(x) = g(x) \Rightarrow x + 3 = x^2 + 1 \]

Перенесём все слагаемые в одну сторону: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Это квадратное уравнение: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим его через формулу квадратичных уравнений: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \]

Тогда: \[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

Итак, точки пересечения по \(x\): \[ x = -1 \quad и \quad x = 2 \]

Шаг 2. Построение области

На интервале \([-1, 2]\) графики функций меняются местами. Надо определить, какая из функций сверху, а какая снизу, чтобы найти разность для интегрирования.

Проверим значения функции в точке внутри интервала, например, в точке \(x=0\): \[ f(0) = 0 + 3 = 3 \] \[ g(0) = 0^2 + 1 = 1 \]

Следовательно, в точке \(x=0\), \(f(x)\) больше \(g(x)\), и она верхняя граница.

Шаг 3. Вычисление площади

Площадь ограниченной фигуры вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функции на интервале \([-1, 2]\):

\[ S = \int_{-1}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx \]

подставим функции: \[ S = \int_{-1}^{2} [(x + 3) - (x^2 + 1)] \, dx = \int_{-1}^{2} [x + 3 - x^2 - 1] \, dx = \int_{-1}^{2} [-x^2 + x + 2] \, dx \]

Шаг 4. Вычисление интеграла

Интегрируем по \(x\):

\[ \int (-x^2 + x + 2) dx = - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл: \[ S = \left[ - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{x = -1}^{x=2} \]

Подставим верхний предел \(x=2\): \[ - \frac{(2)^3}{3} + \frac{(2)^2}{2} + 2 \times 2 = - \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 = - \frac{8}{3} + 2 + 4 \]

Подставим нижний предел \(x=-1\): \[ - \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \times (-1) = - \frac{-1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \]

Вычислим числовые значения:

• Верхний предел: \[ - \frac{8}{3} + 2 + 4 = - \frac{8}{3} + 6 = \left( - \frac{8}{3} + \frac{18}{3} \right) = \frac{10}{3} \]

• Нижний предел: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \] Приведём к общему знаменателю 6: \[ \frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{12}{6} = \frac{2 + 3 - 12}{6} = \frac{-7}{6} \]

Теперь вычислим разность: \[ S = \frac{10}{3} - \left( - \frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} \]

Приведем к общему знаменателю 6: \[ \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

Итог:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(f(x) = x + 3\) и \(g(x) = x^2 + 1\), равна \(\boxed{\frac{9}{2}}\).