В двух сосудах содержатся растворы уксусной кислоты — в первом сосуде 50%-й раствор, во втором сосуде 25%-й раствор. Из первого сосуда 2 л раствора перелили во второй. Жидкость во…

Давайте последовательно решим задачу. Обозначим:

• В первом сосуде изначально было \( V_1 = 10 \) литров раствора.
• В первом сосуде концентрация раствора — 50 %, значит в нём было \( 0,5 \times 10 = 5 \) литров уксусной кислоты и 5 литров воды.
• Во втором сосуде было первоначально \( V_2 \) литров раствора с концентрацией 25 %, то есть \( 0,25 V_2 \) литров уксусной кислоты и \( 0,75 V_2 \) литров воды.

Теперь последовательно выполним все операции.

---

Шаг 1. Перелив 2 литров из первого сосуда во второй

• В первом сосуде осталось: \( 10 - 2 = 8 \) литров, из них:

  • уксусной кислоты: \( 5 - 0,5 \times 2 = 5 - 1 = 4 \) литра
  • воды: \( 5 - 1 = 4 \) литра

• Во втором сосуде было: \( V_2 \) литров с уксусной кислотой \( 0,25 V_2 \) и водой \( 0,75 V_2 \).

• Добавляем 2 литра раствора из первого сосуда (кислота: 1 л, вода: 1 л).

После добавления:

• В воде: \( 0,75 V_2 + 1 \)

• В кислоте: \( 0,25 V_2 + 1 \)

• В целом, во втором сосуде:

  \[ V_2' = V_2 + 2 \]

  • Уксусной кислоты: \( 0,25 V_2 + 1 \)
  • Воды: \( 0,75 V_2 + 1 \)

---

Шаг 2. Перемешивание во втором сосуде

• Весь раствор перемешан, концентрация:

\[ C_2 = \frac{0,25 V_2 + 1}{V_2 + 2} \]

---

Шаг 3. Переливание 2 литров раствора из второго сосуда обратно в первый

• Из второго сосуда берут 2 литра раствора с концентрацией \( C_2 \).

• Количество уксусной кислоты в этой порции: \( 2 \times C_2 \).

• Количество воды: \( 2 - 2 C_2 \).

После этого:

• В первом сосуде:

  \[ \text{уксусной кислоты} = 4 + 2 C_2 \]

  \[ \text{общее объём} = 8 + 2 = 10 \]

  (заметим, что в итоге общее количество раствора у первого сосуда осталось 10 л)

• В втором сосуде:

  \[ \text{уксусной кислоты} = 0.25 V_2 + 1 - 2 C_2 \]

  Объём раствора:

  \[ V_2' = V_2 + 2 - 2 \]

  Т.е., объём остался равен \( V_2 \), поскольку мы взяли из него 2 литра, а добавили 2 литра из другого сосуда. Просто концентрация изменилась.

---

Общая концентрация в первом сосуде после всех операций:

Нам известно, что после всех операций концентрация раствора в первом сосуде стала 46 %. Значит:

\[ \frac{\text{количество уксусной кислоты в первом сосуде}}{\text{объем первого сосуда}} = 0,46 \]

Подставим наши выражения:

\[ \frac{4 + 2 C_2}{10} = 0,46 \]

Отсюда:

\[ 4 + 2 C_2 = 4,6 \]

\[ 2 C_2 = 0,6 \]

\[ C_2 = 0,3 \]

---

Шаг 4. Найдём \( V_2 \)

Recall:

\[ C_2 = \frac{0,25 V_2 + 1}{V_2 + 2} = 0,3 \]

Уравнение:

\[ 0,25 V_2 + 1 = 0,3 (V_2 + 2) \]

Раскроем скобки:

\[ 0,25 V_2 + 1 = 0,3 V_2 + 0,6 \]

Перенесем всё в левую сторону:

\[ 0,25 V_2 - 0,3 V_2 = 0,6 - 1 \]

\[ -0,05 V_2 = -0,4 \]

\[ V_2 = \frac{-0,4}{-0,05} = 8 \]

---

Ответ:

Во втором сосуде было 8 литров.