Давайте последовательно решим задачу. Обозначим:
- В первом сосуде изначально было ( V_1 = 10 ) литров раствора.
- В первом сосуде концентрация раствора — 50 %, значит в нём было ( 0,5 \times 10 = 5 ) литров уксусной кислоты и 5 литров воды.
- Во втором сосуде было первоначально ( V_2 ) литров раствора с концентрацией 25 %, то есть ( 0,25 V_2 ) литров уксусной кислоты и ( 0,75 V_2 ) литров воды.
Теперь последовательно выполним все операции.
Шаг 1. Перелив 2 литров из первого сосуда во второй
В первом сосуде осталось: ( 10 - 2 = 8 ) литров, из них:
- уксусной кислоты: ( 5 - 0,5 \times 2 = 5 - 1 = 4 ) литра
- воды: ( 5 - 1 = 4 ) литра
Во втором сосуде было: ( V_2 ) литров с уксусной кислотой ( 0,25 V_2 ) и водой ( 0,75 V_2 ).
Добавляем 2 литра раствора из первого сосуда (кислота: 1 л, вода: 1 л).
После добавления:
В воде: ( 0,75 V_2 + 1 )
В кислоте: ( 0,25 V_2 + 1 )
В целом, во втором сосуде:
[
V_2' = V_2 + 2
]
- Уксусной кислоты: ( 0,25 V_2 + 1 )
- Воды: ( 0,75 V_2 + 1 )
Шаг 2. Перемешивание во втором сосуде
- Весь раствор перемешан, концентрация:
[
C_2 = \frac{0,25 V_2 + 1}{V_2 + 2}
]
Шаг 3. Переливание 2 литров раствора из второго сосуда обратно в первый
Из второго сосуда берут 2 литра раствора с концентрацией ( C_2 ).
Количество уксусной кислоты в этой порции: ( 2 \times C_2 ).
Количество воды: ( 2 - 2 C_2 ).
После этого:
В первом сосуде:
[
\text{уксусной кислоты} = 4 + 2 C_2
]
[
\text{общее объём} = 8 + 2 = 10
]
(заметим, что в итоге общее количество раствора у первого сосуда осталось 10 л)
В втором сосуде:
[
\text{уксусной кислоты} = 0.25 V_2 + 1 - 2 C_2
]
Объём раствора:
[
V_2' = V_2 + 2 - 2
]
Т.е., объём остался равен ( V_2 ), поскольку мы взяли из него 2 литра, а добавили 2 литра из другого сосуда. Просто концентрация изменилась.
Общая концентрация в первом сосуде после всех операций:
Нам известно, что после всех операций концентрация раствора в первом сосуде стала 46 %. Значит:
[
\frac{\text{количество уксусной кислоты в первом сосуде}}{\text{объем первого сосуда}} = 0,46
]
Подставим наши выражения:
[
\frac{4 + 2 C_2}{10} = 0,46
]
Отсюда:
[
4 + 2 C_2 = 4,6
]
[
2 C_2 = 0,6
]
[
C_2 = 0,3
]
Шаг 4. Найдём ( V_2 )
Recall:
[
C_2 = \frac{0,25 V_2 + 1}{V_2 + 2} = 0,3
]
Уравнение:
[
0,25 V_2 + 1 = 0,3 (V_2 + 2)
]
Раскроем скобки:
[
0,25 V_2 + 1 = 0,3 V_2 + 0,6
]
Перенесем всё в левую сторону:
[
0,25 V_2 - 0,3 V_2 = 0,6 - 1
]
[
-0,05 V_2 = -0,4
]
[
V_2 = \frac{-0,4}{-0,05} = 8
]
Ответ:
Во втором сосуде было 8 литров.
