Две материальные точки движутся по окружности радиусами и , причем . Сравнить их нормальные ускорения в случаях: а) равенства их скоростей; б) равенства их периодов.

Рассмотрим задачу о двух материальных точках, движущихся по окружности радиусами \( R_1 \) и \( R_2 \), при этом \( R_1 \neq R_2 \). Обозначим их массы как \( m_1 \) и \( m_2 \), скорости как \( v_1 \) и \( v_2 \), а периоды — как \( T_1 \) и \( T_2 \).

Нам нужно сравнить их нормальные ускорения в двух случаях:
а) при равных скоростях, \( v_1 = v_2 \);
б) при равных периодах, \( T_1 = T_2 \).

Общие формулы

Для тела, движущегося по окружности радиуса \( R \) с скоростью \( v \),
нормальное (центральное) ускорение определяется формулой:
\[ a_n = \frac{v^2}{R} \]

Также связана периодом \( T \):
\[ T = \frac{2\pi R}{v} \Rightarrow v = \frac{2\pi R}{T} \]

Случай (а): равеньство скоростей \( v_1 = v_2 \)

Подставляя из формулы скорости, получая:
\[ a_{n1} = \frac{v_1^2}{R_1}, \quad a_{n2} = \frac{v_2^2}{R_2} \]

При условии \( v_1 = v_2 = v \), сравниваем ускорения:
\[ a_{n1} = \frac{v^2}{R_1}, \quad a_{n2} = \frac{v^2}{R_2} \]

Следовательно:
\[ \boxed{ a_{n1} : a_{n2} = R_2 : R_1 } \]

Ответ: При равных скоростях нормальные ускорения обратно пропорциональны радиусам окружностей:
\[ a_{n1} \text{ больше } a_{n2} \text{, если } R_2 > R_1 \]

Случай (б): равенство периодов \( T_1 = T_2 = T \)

Используем связь между скоростью и периодом:
\[ v_1 = \frac{2\pi R_1}{T}, \quad v_2 = \frac{2\pi R_2}{T} \]

Тогда нормальные ускорения:
\[ a_{n1} = \frac{v_1^2}{R_1} = \frac{\left( \frac{2\pi R_1}{T} \right)^2}{R_1} = \frac{(2\pi)^2 R_1^2}{T^2 R_1} = \frac{(2\pi)^2 R_1}{T^2} \]

\[ a_{n2} = \frac{(2\pi)^2 R_2}{T^2} \]

Следовательно:
\[ a_{n1} : a_{n2} = R_1 : R_2 \]

Ответ: При равных периодах нормальные ускорения пропорциональны радиусам окружностей:
\[ a_{n1} \text{ больше } a_{n2} \text{, если } R_1 > R_2 \]

Итог:

Если есть еще вопросы или нужны дополнительные пояснения — обращайтесь!