(х 2) ⁴-4(х 2)²-5=0
Рассмотрим данное уравнение:
\[ (х^2)^4 - 4(х^2)^2 - 5 = 0 \]
Шаг 1. Введение новой переменной
Обозначим \( y = x^2 \). Тогда:
\[ (х^2)^4 = y^4 \] и \[ (х^2)^2 = y^2 \]
Таким образом, уравнение переписывается как:
\[ y^4 - 4 y^2 - 5 = 0 \]
Это — quartic уравнение по переменной \( y \).
Шаг 2. Замена переменной и решение уравнения
Обозначим:
\[ z = y^2 \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ z^2 - 4z - 5 = 0 \]
Это — обычное квадратное уравнение по \( z \).
Шаг 3. Решение квадратного уравнения
Решим \( z^2 - 4z - 5 = 0 \):
Используем формулу:
\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a=1 \), \( b=-4 \), \( c=-5 \).
Подставляем:
\[ z = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \]
\[ z = \frac{4 \pm 6}{2} \]
Получаем два значения:
- \( z_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( z_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Шаг 4. Возврат к переменной \( y \)
Поскольку \( z = y^2 \):
- Для \( z_1 = 5 \):
\[ y^2 = 5 \Rightarrow y = \pm \sqrt{5} \]
- Для \( z_2 = -1 \):
\[ y^2 = -1 \]
Это не имеет решений в действительных числах.
Шаг 5. Возврат к переменной \( x \)
ПRecall, что \( y = x^2 \), поэтому:
- Для \( y = \sqrt{5} \):
\[ x^2 = \sqrt{5} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\sqrt{5}} \]
- Для \( y = -\sqrt{5} \):
\[ x^2 = -\sqrt{5} \]
Это не имеет решений в вещественных числах, так как \( x^2 \ge 0 \) для реальных чисел.
Итоговые решения в действительных числах:
\[ \boxed{ x = \pm \sqrt{\sqrt{5}} } \]
или в более компактной форме:
\[ x = \pm (\sqrt{5})^{1/2} = \pm 5^{1/4} \]
Итог:
Ответ:
\[
\boxed{
x = \pm \sqrt{\sqrt{5}} = \pm 5^{1/4}
}
\]
Это — все решения уравнения на множестве действительных чисел.
