(х 2) ⁴-4(х 2)²-5=0

Рассмотрим данное уравнение: \[ (х^2)^4 - 4(х^2)^2 - 5 = 0 \] ### Шаг 1. Введение новой переменной Обозначим \( y = x^2 \). Тогда: \[ (х^2)^4 = y^4 \] и \[ (х^2)^2 = y^2 \] Таким образом, уравнение переписывается как: \[ y^4 - 4 y^2 - 5 = 0 \] Это — quartic уравнение по переменной \( y \). --- ### Шаг 2. Замена переменной и решение уравнения Обозначим: \[ z = y^2 \] Тогда уравнение принимает вид: \[ z^2 - 4z - 5 = 0 \] Это — обычное квадратное уравнение по \( z \). ### Шаг 3. Решение квадратного уравнения Решим \( z^2 - 4z - 5 = 0 \): Используем формулу: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=1 \), \( b=-4 \), \( c=-5 \). Подставляем: \[ z = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ z = \frac{4 \pm 6}{2} \] Получаем два значения: 1. \( z_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) 2. \( z_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) --- ### Шаг 4. Возврат к переменной \( y \) Поскольку \( z = y^2 \): - Для \( z_1 = 5 \): \[ y^2 = 5 \Rightarrow y = \pm \sqrt{5} \] - Для \( z_2 = -1 \): \[ y^2 = -1 \] Это не имеет решений в действительных числах. --- ### Шаг 5. Возврат к переменной \( x \) ПRecall, что \( y = x^2 \), поэтому: - Для \( y = \sqrt{5} \): \[ x^2 = \sqrt{5} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\sqrt{5}} \] - Для \( y = -\sqrt{5} \): \[ x^2 = -\sqrt{5} \] Это не имеет решений в вещественных числах, так как \( x^2 \ge 0 \) для реальных чисел. ### Итоговые решения в действительных числах: \[ \boxed{ x = \pm \sqrt{\sqrt{5}} } \] или в более компактной форме: \[ x = \pm (\sqrt{5})^{1/2} = \pm 5^{1/4} \] --- ## Итог: **Ответ:** \[ \boxed{ x = \pm \sqrt{\sqrt{5}} = \pm 5^{1/4} } \] Это — все решения уравнения на множестве действительных чисел.