Предмет разместили на расстоянии а от переднего фокуса собирающей линз фокусным расстоянием F = 15 см, а экран, на котором получено четкое изображение предмета, на расстоянии f =…

Давайте разберём задачу по шагам, чтобы понять, как найти расстояние d — расстояние предмета от линзы.

Дано:

• Расстояние предмета от переднего фокуса линзы: \( a \)
• Фокусное расстояние линзы: \( F = 15\,\text{см} \)
• Расстояние изображения (экран) от фокуса, с противоположной стороны: \( f = 40\,\text{см} \)

---

Шаг 1. Однако зафиксируем обозначения и понятия:

• Пусть \( d \) — расстояние от предмета до линзы (шага пока не определённо)
• \( a \) — расстояние предмета от переднего фокуса: \( a = d - F \)

Но в условии сказано, что предмет размещен на расстоянии \( a \) от переднего фокуса, то есть: \[ a = d - F \] или \[ d = a + F \]

---

Шаг 2. Определим свойства изображения:

Поскольку изображение получено на экране, оно должно быть реальным и хорошо фокусироваться, то есть, применима формула линз:

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \]

где:

• \( d_o \) — расстояние предмета от линзы
• \( d_i \) — расстояние изображения (экрана) от линзы

По условию: \[ d_o = d = a + F \]

Также нужно подчеркнуть, что \( d_o \) (расстояние предмета) и \( d_i \) (расстояние изображения) связаны через расстояния на противоположных сторонах линзы.

---

Шаг 3. Связь по условию о расстоянии изображения f:

Говорится, что изображение находится на расстоянии \( f = 40 \text{см} \) от фокуса с противоположной стороны. Значит:

• Если смотреть со стороны предмета, то изображение находится на расстоянии \( d_i' \) относительно линзы, и это связано с \( d_i \).

Однако формулировка кажется, что:

• \( f \) — расстояние от фокуса до изображения (экрана), то есть \[ d_i = \text{расстояние от линзы до экрана} \]

Если изображение расположено на расстоянии \( d_i \) от линзы, то оно равно:

\[ d_i = F + f \]

Потому что:

• фокус — расстояние \( F = 15 \text{см} \),
• расстояние от фокуса до изображения — \( f = 40 \text{см} \).

Тогда: \[ d_i = F + f = 15 + 40 = 55\,\text{см} \]

---

Шаг 4. Используем формулу линз:

\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \]

Подставим известные значения: \( f = 15\,\textсм \), \( d_i = 55\,\textсм \):

\[ \frac{1}{15} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{55} \]

Решим уравнение относительно \( d_o \):

\[ \frac{1}{d_o} = \frac{1}{15} - \frac{1}{55} \]

Найдем общий знаменатель:

\[ \frac{1}{d_o} = \frac{55 - 15}{15 \times 55} = \frac{40}{825} \]

Упростим:

\[ \frac{1}{d_o} = \frac{8}{165} \]

Следовательно:

\[ d_o = \frac{165}{8} = 20,625\,\textсм \]

---

Шаг 5. Теперь найдём \( a \):

Из определения, \( a = d_o - F \):

\[ a = 20,625 - 15 = 5,625\,\textсм \]

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Расстояние предмета от переднего фокуса} \approx 5,63\,\textсм } \]

Если нужно найти первое расстояние \( d \):

\[ d = a + F \approx 5,63 + 15 = 20,63\,\textсм \]

---

Итоговый ответ:

Расстояние предмета от линзы \( d \approx 20,63\,\text{см} \).