Давайте разберемся с задачей по шагам.
Дано:
- Общее расстояние: 560 км
- Автомобили отправляются одновременно
- Обозначим скорость второго автомобиля как ( v ) км/ч
- Тогда скорость первого автомобиля: ( v + 10 ) км/ч
- Первый автомобиль прибывает на 1 час раньше второго
Нам нужно найти скорость первого автомобиля, то есть ( v + 10 ).
Шаг 1. Запишем выражения для времени пути каждого автомобиля.
- Время первого автомобиля: ( t_1 = \frac{560}{v + 10} )
- Время второго автомобиля: ( t_2 = \frac{560}{v} )
Так как первый прибывает на 1 час раньше, получаем уравнение:
[
t_1 = t_2 - 1
]
Шаг 2. Подставим выражения для времени:
[
\frac{560}{v + 10} = \frac{560}{v} - 1
]
Шаг 3. Решим уравнение относительно ( v ).
Перенесем все в левую сторону:
[
\frac{560}{v + 10} - \frac{560}{v} = -1
]
Приведем к общему знаменателю:
[
\frac{560v - 560(v + 10)}{v(v + 10)} = -1
]
Раскроем числитель:
[
\frac{560v - 560v - 560 \times 10}{v(v + 10)} = -1
]
[
\frac{- 5600}{v(v + 10)} = -1
]
Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель:
[
-5600 = - v(v + 10)
]
Обратим знак:
[
5600 = v(v + 10)
]
Раскроем скобки:
[
5600 = v^2 + 10v
]
Шаг 4. Полученная квадратичная часть:
[
v^2 + 10v - 5600 = 0
]
Решим квадратное уравнение.
Шаг 5. Решим квадратичное уравнение.
Дискриминант:
[
D = (10)^2 - 4 \times 1 \times (-5600) = 100 + 22400 = 22500
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{22500} = 150
]
Найдем корни:
[
v = \frac{-10 \pm 150}{2}
]
Первый корень:
[
v = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70
]
Второй корень:
[
v = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80
]
Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный:
[
v = 70 \text{ км/ч}
]
Шаг 6. Найдем скорость первого автомобиля:
[
v + 10 = 70 + 10 = 80 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость первого автомобиля — 80 км/ч.
