Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см, а его периметр равен 24 см. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника

Рассмотрим задачу:

Дано: площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², периметр равен 24 см. Нужно найти радиус окружности,описанной вокруг этого треугольника (окружности, в которую вписывается треугольник).

Обозначим стороны прямоугольного треугольника как:

• катеты: \(a\) и \(b\),
• гипотенуза: \(c\).

Шаг 1: Запишем данные из условия:

• Площадь \(S = \frac{1}{2}ab = 24 \Rightarrow ab = 48\).
• Периметр \(P = a + b + c = 24\).
• По теореме Пифагора: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Шаг 2: Выразим необходимые параметры

Из второго уравнения: \[ a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 24. \]

Обозначим: \[ A = a + b, \quad B = \sqrt{a^2 + b^2} = c. \]

Тогда: \[ A + B = 24, \] и изначала: \[ ab = 48. \]

Наши неизвестные: \(a, b\).

Шаг 3: Используем дополнительное уравнение

Используем известное соотношение: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \]

Заменим: \[ A^2 = a^2 + 2ab + b^2, \] но так как \(a^2 + b^2 = c^2 = B^2\), то: \[ A^2 = c^2 + 2ab. \]

Подставим значения: \[ A^2 = c^2 + 2 \times 48 = c^2 + 96. \]

Но мы знаем, что из условия \(A + c = 24\), то есть: \[ c = 24 - A. \]

Подставим в уравнение: \[ A^2 = (24 - A)^2 + 96. \]

Раскроем скобки: \[ A^2 = 576 - 48A + A^2 + 96, \] \[ A^2 = A^2 + 672 - 48A, \] вычитаем \(A^2\) из обеих частей: \[ 0 = 672 - 48A, \] \[ 48A = 672, \] \[ A = \frac{672}{48} = 14. \]

Значит: \[ A = a + b = 14, \] и \[ c = 24 - A = 24 - 14 = 10. \]

Шаг 4: Найдём \(a\) и \(b\)

Известно: \[ ab = 48, \] и \[ a + b = 14. \]

Это система уравнений: \[ a + b = 14, \] \[ ab = 48. \]

Рассмотрим уравнение для \(a\): \[ a(14 - a) = 48, \] \[ 14a - a^2 = 48, \] \[ a^2 - 14a + 48 = 0. \]

Решаем квадратичное уравнение: \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \times 1 \times 48}}{2}. \]

Вычисляем под корнем: \[ 14^2 = 196, \] \[ 4 \times 48 = 192, \] \[ \sqrt{196 - 192} = \sqrt{4} = 2. \]

Значит: \[ a = \frac{14 \pm 2}{2}. \]

Получаем два решения:

• \(a = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8\),
• \(a = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\).

Следовательно, возможные пары сторон:

• \((a, b) = (8, 6)\) или \((6, 8)\).

Поскольку у них одинаковый набор, можно взять, например, \(a=6\), \(b=8\). Тогда гипотенуза: \[ c = 10. \]

Это соответствует теореме Пифагора: \[ 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2, \] всё правильно.

Шаг 5: Найдём радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника: \[ R = \frac{c}{2}. \] Это известно, так как у прямоугольного треугольника: \[ R = \frac{\text{гипотенуза}}{2}. \]

Подставляем: \[ R = \frac{10}{2} = 5. \]

Итог:

Радиус окружности, описанной вокруг этого прямоугольного треугольника, равен 5 см.

Если нужно более подробное объяснение или есть другие вопросы — скажите!