График функции у=х3-3х2+4

Рассмотрим задачу — построить график функции \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \). Я расскажу подробно, как это сделать, чтобы понять общий принцип и хранить все важные моменты. --- ### 1. Определение функции Функция \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) — это кубическая функция. Для построения графика нужно найти её основные свойства: особенности роста, экстремумы, точки перегиба, пересечения с осями. --- ### 2. Найдём производную функции Чтобы понять, где функция возрастает или убывает, найдём её первую производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] Вытащим общий множитель: \[ y' = 3x(x - 2) \] --- ### 3. Наблюдения по первой производной - \( y' = 0 \) в точках: \[ 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2 \] Эти точки — потенциальные экстремумы (минимумы или максимумы). - Анализ знака \( y' \): | интервал | знак \( y' \) | функция возрастает или убывает | |--------------|--------------|------------------------------| | \( x < 0 \) | \( 3x(x-2) \) | обе множители отрицательные, \( y' > 0 \) – функция возрастает | | \( 0 < x < 2 \) | \( 3x(x-2) \) | \( x > 0 \), \( x-2 < 0 \) – произведение отрицательное, \( y' < 0 \) – убывает | | \( x > 2 \) | \( 3x(x-2) \) | оба множителя положительные, \( y' > 0 \) – возрастает | **Итак:** - В районе \( x < 0 \) — функция возрастает. - Между \( 0 \) и \( 2 \) — убывает. - После \( 2 \) — возрастает. --- ### 4. Найдём координаты экстремумов Подставим найденные точки в исходную функцию, чтобы найти их значения: - В точке \( x=0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3\cdot0^2 + 4 = 4 \] - В точке \( x=2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 3 \cdot 4 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] Значит, у нас есть: - максимум в точке \( (0, 4) \), - минимум в точке \( (2, 0) \). --- ### 5. Анализ точки перегиба (второй производной) Найдим вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] Ищем точку перегиба: \[ 6x - 6 = 0 \Rightarrow x=1 \] Это точка возможного перегиба. Проверим знак \( y'' \): - В точке \( x < 1 \), например \( x=0 \): \[ y''(0) = -6 < 0 \] – функция в этой области выпукла вверх (вогнута). - В точке \( x > 1 \), например \( x=2 \): \[ y''(2) = 6 \cdot 2 - 6 = 12 - 6 = 6 > 0 \] – выпуклость меняется на выпуклость вниз. Итак, в точке \( x=1 \) — точка перегиба. Значение функции в этой точке: \[ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 \] --- ### 6. Пересечения с осями - по оси \( y \) (когда \( x=0 \)): \[ y=4 \] - по оси \( x \) (когда \( y=0 \)): Решим уравнение: \[ x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \] Это кубическое. Попробуем подобрать рациональный корень по критерию рациональных корней (делителям 4 — ±1, ±2, ±4): Проверим \( x=1 \): \[ 1 - 3 + 4= 2 \neq 0 \] Проверим \( x=-1 \): \[ -1 - 3 + 4= 0 \] Да! Получили, что \( x = -1 \) — корень уравнения. Теперь делим кубическое на \( (x + 1) \): Деление: \[ x^3 - 3x^2 + 4 \div (x + 1) \] используя метод деления или схему Горнера: - Коэффициенты: 1, -3, 0, 4 - Выполняем деление: Результат деления: \[ x^2 - 4x + 4 \] осталось: \[ \text{Остаток} = 0 \] Итак, факторизация: \[ x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x^2 - 4x + 4) \] Обратим внимание, что \( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \). Значит, уравнение \( y=0 \): \[ (x+1)(x-2)^2=0 \] Решения: \[ x=-1, \quad x=2 \quad (\двойной корень) \] Пересечение с осью \( x \) в точках: - \( (-1,0) \), - \( (2, 0) \). --- ### 7. Итоговые свойства графика - Экстремумы: - максимум в \( (0,4) \), - минимум в \( (2,0) \). - Точка перегиба: - \( (1, 2) \). - Пересечения: - с осью \( y \) — при \( (0,4) \), - с осью \( x \) — при \( (-1,0) \) и \( (2,0) \). - Поведение графика: - Возрастает на \( (-\infty, 0) \), - убывает на \( (0, 2) \), - снова возрастает после \( x=2 \). --- ### 8. Построение графика (общее описание) График функции \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \): - В начале идет вверх, приближаясь к бесконечности слева. - В точке \( x=0 \) достигает максимум \( y=4 \). - После этого убывает, пересекает \( x \)-ось в \( x=-1 \). - В точке \( x=1 \) точка перегиба, график меняет выпуклость. - В точке \( x=2 \) достигает минимума \( y=0 \). - После этого вновь возрастает, уходя вверх. --- Если нужно, я могу помочь с построением графика на бумаге или графическом редакторе. Хотите, чтобы я подготовил чертёж?