решить
Давайте подробно разберем задачу и решим ее шаг за шагом.
Задача:
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, а выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Обозначения:
- Пусть t2 — время, за которое второй рабочий выполняет заказ (в часах).
- Тогда t1 — время, за которое первый рабочий выполняет заказ, равно t2 - 3 (на 3 часа быстрее).
Количество деталей, сделанных каждым рабочим:
- Первый рабочий за час делает D1 деталей.
- Второй — D2 деталей.
Общие условия:
- За t1 часов первый рабочий делает:
\[ D1 \times t1 = 180 \] - За t2 часов второй рабочий делает:
\[ D2 \times t2 = 180 \] - Также известно, что первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй:
\[ D1 = D2 + 5 \]
Выражаем D1 через D2:
\[ D1 = D2 + 5 \]
Записываем уравнения:
- Для первого рабочего:
\[ (D2 + 5) \times t1 = 180 \] - Для второго:
\[ D2 \times t2 = 180 \] - Также известно, что \[ t1 = t2 - 3 \]
Подставляем \( t1 = t2 - 3 \) в первое уравнение:
\[ (D2 + 5)(t2 - 3) = 180 \]
Раскроем скобки: \[ D2 \times (t2 - 3) + 5 \times (t2 - 3) = 180 \]
Раскроем далее: \[ D2 t2 - 3 D2 + 5 t2 - 15 = 180 \]
Также из второго уравнения выразим D2: \[ D2 = \frac{180}{t2} \]
Подставим это в выражение выше: \[ \left(\frac{180}{t2}\right) t2 - 3 \times \frac{180}{t2} + 5 t2 - 15 = 180 \]
Посчитаем каждое слагаемое:
- \(\frac{180}{t2} \times t2 = 180\)
- \( - 3 \times \frac{180}{t2} = - \frac{540}{t2} \)
Итак: \[ 180 - \frac{540}{t2} + 5 t2 - 15 = 180 \]
Переносим 180 в левую сторону: \[ 180 - 180 - \frac{540}{t2} + 5 t2 - 15 = 0 \]
Сокращаем: \[ - \frac{540}{t2} + 5 t2 - 15 = 0 \]
Получаем уравнение:
\[ 5 t2 - \frac{540}{t2} - 15 = 0 \]
Упростим, умножив всё на \( t2 \) (чтобы избавиться от дроби): \[ (5 t2) \times t2 - 540 - 15 t2 = 0 \]
или \[ 5 t2^2 - 15 t2 - 540 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
\[ 5 t2^2 - 15 t2 - 540 = 0 \]
Делим всё на 5: \[ t2^2 - 3 t2 - 108 = 0 \]
Найдем дискриминант \( D \): \[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-108) = 9 + 432 = 441 \]
Величина \( D = 441 \), корень из которого равен 21.
Корни уравнения: \[ t2 = \frac{3 \pm 21}{2} \]
- Первый корень: \[ t2 = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]
- Второй корень: \[ t2 = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]
Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем \( t2 = 12 \) час.
Теперь найдём количество деталей в час для второго рабочего:
\[ D2 = \frac{180}{t2} = \frac{180}{12} = 15 \]
Ответ:
Второй рабочий делает 15 деталей в час.
