Решить

Давайте подробно разберем задачу и решим ее шаг за шагом. **Задача**: Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, а выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий. Сколько деталей в час делает второй рабочий? --- ### Обозначения: - Пусть **t2** — время, за которое второй рабочий выполняет заказ (в часах). - Тогда **t1** — время, за которое первый рабочий выполняет заказ, равно **t2 - 3** (на 3 часа быстрее). --- ### Количество деталей, сделанных каждым рабочим: - Первый рабочий за час делает **D1** деталей. - Второй — **D2** деталей. Общие условия: - За **t1** часов первый рабочий делает: \[ D1 \times t1 = 180 \] - За **t2** часов второй рабочий делает: \[ D2 \times t2 = 180 \] - Также известно, что первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй: \[ D1 = D2 + 5 \] --- ### Выражаем D1 через D2: \[ D1 = D2 + 5 \] --- ### Записываем уравнения: 1. Для первого рабочего: \[ (D2 + 5) \times t1 = 180 \] 2. Для второго: \[ D2 \times t2 = 180 \] 3. Также известно, что \[ t1 = t2 - 3 \] --- ### Подставляем \( t1 = t2 - 3 \) в первое уравнение: \[ (D2 + 5)(t2 - 3) = 180 \] Раскроем скобки: \[ D2 \times (t2 - 3) + 5 \times (t2 - 3) = 180 \] Раскроем далее: \[ D2 t2 - 3 D2 + 5 t2 - 15 = 180 \] Также из второго уравнения выразим **D2**: \[ D2 = \frac{180}{t2} \] Подставим это в выражение выше: \[ \left(\frac{180}{t2}\right) t2 - 3 \times \frac{180}{t2} + 5 t2 - 15 = 180 \] Посчитаем каждое слагаемое: - \(\frac{180}{t2} \times t2 = 180\) - \( - 3 \times \frac{180}{t2} = - \frac{540}{t2} \) Итак: \[ 180 - \frac{540}{t2} + 5 t2 - 15 = 180 \] Переносим 180 в левую сторону: \[ 180 - 180 - \frac{540}{t2} + 5 t2 - 15 = 0 \] Сокращаем: \[ - \frac{540}{t2} + 5 t2 - 15 = 0 \] --- ### Получаем уравнение: \[ 5 t2 - \frac{540}{t2} - 15 = 0 \] Упростим, умножив всё на \( t2 \) (чтобы избавиться от дроби): \[ (5 t2) \times t2 - 540 - 15 t2 = 0 \] или \[ 5 t2^2 - 15 t2 - 540 = 0 \] --- ### Решение квадратного уравнения: \[ 5 t2^2 - 15 t2 - 540 = 0 \] Делим всё на 5: \[ t2^2 - 3 t2 - 108 = 0 \] Найдем дискриминант \( D \): \[ D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-108) = 9 + 432 = 441 \] Величина \( D = 441 \), корень из которого равен 21. Корни уравнения: \[ t2 = \frac{3 \pm 21}{2} \] - Первый корень: \[ t2 = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] - Второй корень: \[ t2 = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \] Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем \( t2 = 12 \) час. --- ### Теперь найдём количество деталей в час для второго рабочего: \[ D2 = \frac{180}{t2} = \frac{180}{12} = 15 \] **Ответ:** **Второй рабочий делает 15 деталей в час.**