На окружности радиуса 6 отмечена точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, АС = 9. Найдите cos < BAC.

Рассмотрим задачу пошагово:

Дано:

• Радиус окружности \( R = 6 \)
• Точка \( C \) находится на окружности
• \( AB \) — диаметр окружности
• \( AC = 9 \)

Требуется найти \(\cos \angle BAC\).

---

Шаг 1: Анализ условий

• Вся окружность имеет радиус \( R = 6 \).
• Точка \( C \) лежит на окружности, значит, \( OC = R = 6 \).
• Диаметр \( AB \) — отрезок, соединяющий противоположные точки окружности, длина которого равна \( 2R = 12 \).

Поскольку \( A \) и \( B \) — точки на окружности, \( AB \) — диаметр. Точка \( A \), \( B \), и \( C \) связаны тем, что \( C \) тоже лежит на окружности, а \( AC = 9 \).

---

Шаг 2: Вспомогательные свойства

• По теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом и хордовым отрезком.
• Угол \(\angle BAC\) — это угол между отрезками \( AB \) и \( AC \).

Так как \( AB \) — диаметр, то угол \( \angle ACB \) — вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90°. Однако, чтобы найти косинус угла \( \angle BAC \), нужно применить определение косинуса через векторные или тригонометрические соотношения.

---

Шаг 3: Построение схемы

Обозначим:

• точку \( A \) — в начале координат \((0, 0)\),
• точку \( B \) — на противоположной стороне окружности \((-12, 0)\), так как \( AB = 12 \), а диаметр идет по оси \( x \).

Тогда:

• Центр окружности — \( O(0, 0) \),
• \( A = (-6, 0) \),
• \( B = (6, 0) \),
• Точка \( C \) — на окружности, с координатами, которые нужно определить.

---

Шаг 4: Координаты точки \( C \)

Так как \( C \) — на окружности \( x^2 + y^2 = R^2 = 36 \).

Дано: \( AC = 9 \). Тогда:

\[ AC^2 = (x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 = 81 \] где \( A = (-6, 0) \).

Подставляем координаты \( A \):

\[ (x_C + 6)^2 + y_C^2 = 81 \] и при этом \( (x_C)^2 + y_C^2 = 36 \).

---

Шаг 5: Решаем систему уравнений

Есть два уравнения:

1. \( (x_C)^2 + y_C^2 = 36 \)
2. \( (x_C + 6)^2 + y_C^2 = 81 \)

Вычитая первое из второго:

\[ (x_C + 6)^2 + y_C^2 - (x_C^2 + y_C^2) = 81 - 36 \]

\[ (x_C^2 + 12x_C + 36) + y_C^2 - x_C^2 - y_C^2 = 45 \]

Остается:

\[ 12x_C + 36 = 45 \] \[ 12x_C = 9 \] \[ x_C = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0.75 \]

Подставляем \( x_C \) в уравнение окружности:

\[ (0.75)^2 + y_C^2 = 36 \] \[ 0.5625 + y_C^2 = 36 \] \[ y_C^2 = 36 - 0.5625 = 35.4375 \] \[ y_C = \pm \sqrt{35.4375} \]

---

Шаг 6: Векторные исчисления для угла \( \angle BAC \)

Точка \( A = (-6, 0) \), Точка \( C = (0.75, \pm \sqrt{35.4375}) \), Точка \( B = (6, 0) \).

Векторы:

\[ \vec{AC} = (0.75 - (-6), y_C - 0) = (6.75, y_C) \] \[ \vec{AB} = (6 - (-6), 0 - 0) = (12, 0) \]

---

Шаг 7: Вычисление \(\cos \angle BAC\)

По определению косинуса через скалярное произведение:

\[ \cos \angle BAC = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AB}|} \]

Скалярное произведение:

\[ \vec{AC} \cdot \vec{AB} = (6.75)(12) + y_C \times 0 = 81 \]

Длины векторов:

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(6.75)^2 + y_C^2} = \sqrt{45.5625 + 35.4375} = \sqrt{81} = 9 \]

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{12^2 + 0^2} = 12 \]

Итак:

\[ \cos \angle BAC = \frac{81}{9 \times 12} = \frac{81}{108} = \frac{3}{4} = 0.75 \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \cos \angle BAC = \frac{3}{4} } \]

или в десятичной форме — 0,75.

Если нужны более подробные объяснения — обращайтесь!