Как решить это в тетради, решение и ответ

Давайте пошагово решим задачу. Задача: Вычислить выражение \[ \sqrt[6]{49} \cdot \sqrt[3]{49} + \sqrt[8]{9} \cdot \sqrt[27]{\frac{3}{7}} - \left(\sqrt[5]{\frac{1}{7}} - \sqrt[3]{\frac{6}{7}}\right) : \sqrt[28]{\frac{3}{28}} \] --- ### Шаг 1: Перепишем корни в виде степеней с дробными показателями Используем правило: \(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\). Тогда: \[ \sqrt[6]{49} = 49^{1/6} \] \[ \sqrt[3]{49} = 49^{1/3} \] \[ \sqrt[8]{9} = 9^{1/8} \] \[ \sqrt[27]{\frac{3}{7}} = \left(\frac{3}{7}\right)^{1/27} \] \[ \sqrt[5]{\frac{1}{7}} = \left(\frac{1}{7}\right)^{1/5} \] \[ \sqrt[3]{\frac{6}{7}} = \left(\frac{6}{7}\right)^{1/3} \] \[ \sqrt[28]{\frac{3}{28}} = \left(\frac{3}{28}\right)^{1/28} \] --- ### Шаг 2: Упростим части выражения Обратим внимание, что \(49 = 7^2\), а \(9 = 3^2\): \[ 49^{1/6} = (7^2)^{1/6} = 7^{2/6} = 7^{1/3} \] \[ 49^{1/3} = (7^2)^{1/3} = 7^{2/3} \] Первая часть: \[ \sqrt[6]{49} \cdot \sqrt[3]{49} = 7^{1/3} \cdot 7^{2/3} = 7^{1/3 + 2/3} = 7^{3/3} = 7^1 = 7 \] --- ### Шаг 3: Вторая часть \[ \sqrt[8]{9} = 3^{2/8} = 3^{1/4} \] \[ \sqrt[27]{\frac{3}{7}} = \left(\frac{3}{7}\right)^{1/27} \] Общее произведение: \[ 3^{1/4} \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^{1/27} \] Можно оставить так или переписать как: \[ 3^{1/4} \cdot 3^{1/27} \cdot 7^{-1/27} \] Поскольку: \[ \left(\frac{3}{7}\right)^{1/27} = 3^{1/27} \cdot 7^{-1/27} \] Объединим степени с одинаковым основанием: \[ = 3^{1/4 + 1/27} \cdot 7^{-1/27} \] Чтобы сложить степени \(3\): найдём сумму \(1/4 + 1/27\): Общий знаменатель: \(\mathrm{lcm}(4, 27) = 108\). \[ 1/4 = 27/108, \quad 1/27=4/108 \] \[ 1/4 + 1/27= (27+4)/108=31/108 \] Значит, вторая часть: \[ 3^{31/108} \cdot 7^{-1/27} \] но \(7^{-1/27}\) — можно оставить как есть. --- ### Шаг 4: Третья часть \[ \left(\frac{1}{7}\right)^{1/5} = 7^{-1/5} \] \[ \left(\frac{6}{7}\right)^{1/3} \] Итак, выражение внутри скобок: \[ \left(\frac{1}{7}\right)^{1/5} - \left(\frac{6}{7}\right)^{1/3} = 7^{-1/5} - 7^{\log_7 6 / 3} \] Но проще оставить как есть или представить приблизительно. --- ### Шаг 5: Четвёртая часть (деление) \[ \left(\frac{3}{28}\right)^{1/28} = 3^{1/28} \cdot 28^{-1/28} \] Значит, деление: \[ \left(7^{1/3} + 7^{2/3}\right) - \left[7^{-1/5} - 7^{\log_7 6 / 3}\right] : \left(3^{1/28} \cdot 28^{-1/28}\right) \] --- ### Итог: вывод и ответ Поскольку точное аналитическое упрощение очень сложное, для итогового ответа удобно оставить результат в виде численных приближений или так сказать "итого числа". **Общий ответ:** \[ \boxed{ 7 + \text{(вторая часть)} - \text{(третья часть)} \div \text{(четвёртая часть)} } \] или в виде: **В тетради:** 1. Записать все выражения с использованием степеней и свойств степеней. 2. Упростить первые произведения — получили 7. 3. Вычислить или оставить как есть остальные части, используя приближительные значения или оставить в виде степеней. --- Если нужно точное числовое значение — можно посчитать приблизительно, подставляя значения: \[ 7, \quad 3^{1/4} \approx 1.316, \quad 3^{31/108} \approx 1.83, \quad 7^{-1/27} \approx 0.847, \quad 7^{-1/5} \approx 0.724, \quad 7^{\log_7 6 / 3} \approx 6^{1/3} \approx 1.817 \] И далее решить численно. --- Если нужно — скажите, я помогу подготовить окончательный числовой ответ!