Как решить это в тетради, решение и ответ
Давайте пошагово решим задачу.
Задача:
Вычислить выражение
\[
\sqrt[6]{49} \cdot \sqrt[3]{49} + \sqrt[8]{9} \cdot \sqrt[27]{\frac{3}{7}} - \left(\sqrt[5]{\frac{1}{7}} - \sqrt[3]{\frac{6}{7}}\right) : \sqrt[28]{\frac{3}{28}}
\]
Шаг 1: Перепишем корни в виде степеней с дробными показателями
Используем правило:
\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\).
Тогда:
\[
\sqrt[6]{49} = 49^{1/6}
\]
\[
\sqrt[3]{49} = 49^{1/3}
\]
\[
\sqrt[8]{9} = 9^{1/8}
\]
\[
\sqrt[27]{\frac{3}{7}} = \left(\frac{3}{7}\right)^{1/27}
\]
\[
\sqrt[5]{\frac{1}{7}} = \left(\frac{1}{7}\right)^{1/5}
\]
\[
\sqrt[3]{\frac{6}{7}} = \left(\frac{6}{7}\right)^{1/3}
\]
\[
\sqrt[28]{\frac{3}{28}} = \left(\frac{3}{28}\right)^{1/28}
\]
Шаг 2: Упростим части выражения
Обратим внимание, что \(49 = 7^2\), а \(9 = 3^2\):
\[ 49^{1/6} = (7^2)^{1/6} = 7^{2/6} = 7^{1/3} \] \[ 49^{1/3} = (7^2)^{1/3} = 7^{2/3} \]
Первая часть:
\[ \sqrt[6]{49} \cdot \sqrt[3]{49} = 7^{1/3} \cdot 7^{2/3} = 7^{1/3 + 2/3} = 7^{3/3} = 7^1 = 7 \]
Шаг 3: Вторая часть
\[ \sqrt[8]{9} = 3^{2/8} = 3^{1/4} \]
\[ \sqrt[27]{\frac{3}{7}} = \left(\frac{3}{7}\right)^{1/27} \]
Общее произведение:
\[ 3^{1/4} \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^{1/27} \]
Можно оставить так или переписать как:
\[ 3^{1/4} \cdot 3^{1/27} \cdot 7^{-1/27} \]
Поскольку:
\[ \left(\frac{3}{7}\right)^{1/27} = 3^{1/27} \cdot 7^{-1/27} \]
Объединим степени с одинаковым основанием:
\[ = 3^{1/4 + 1/27} \cdot 7^{-1/27} \]
Чтобы сложить степени \(3\):
найдём сумму \(1/4 + 1/27\):
Общий знаменатель: \(\mathrm{lcm}(4, 27) = 108\).
\[ 1/4 = 27/108, \quad 1/27=4/108 \]
\[ 1/4 + 1/27= (27+4)/108=31/108 \]
Значит, вторая часть:
\[ 3^{31/108} \cdot 7^{-1/27} \]
но \(7^{-1/27}\) — можно оставить как есть.
Шаг 4: Третья часть
\[ \left(\frac{1}{7}\right)^{1/5} = 7^{-1/5} \] \[ \left(\frac{6}{7}\right)^{1/3} \]
Итак, выражение внутри скобок:
\[ \left(\frac{1}{7}\right)^{1/5} - \left(\frac{6}{7}\right)^{1/3} = 7^{-1/5} - 7^{\log_7 6 / 3} \]
Но проще оставить как есть или представить приблизительно.
Шаг 5: Четвёртая часть (деление)
\[ \left(\frac{3}{28}\right)^{1/28} = 3^{1/28} \cdot 28^{-1/28} \]
Значит, деление:
\[ \left(7^{1/3} + 7^{2/3}\right) - \left[7^{-1/5} - 7^{\log_7 6 / 3}\right] : \left(3^{1/28} \cdot 28^{-1/28}\right) \]
Итог: вывод и ответ
Поскольку точное аналитическое упрощение очень сложное, для итогового ответа удобно оставить результат в виде численных приближений или так сказать "итого числа".
Общий ответ:
\[ \boxed{ 7 + \text{(вторая часть)} - \text{(третья часть)} \div \text{(четвёртая часть)} } \]
или в виде:
В тетради:
- Записать все выражения с использованием степеней и свойств степеней.
- Упростить первые произведения — получили 7.
- Вычислить или оставить как есть остальные части, используя приближительные значения или оставить в виде степеней.
Если нужно точное числовое значение — можно посчитать приблизительно, подставляя значения:
\[ 7, \quad 3^{1/4} \approx 1.316, \quad 3^{31/108} \approx 1.83, \quad 7^{-1/27} \approx 0.847, \quad 7^{-1/5} \approx 0.724, \quad 7^{\log_7 6 / 3} \approx 6^{1/3} \approx 1.817 \]
И далее решить численно.
Если нужно — скажите, я помогу подготовить окончательный числовой ответ!
