Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 и y=4x сделав рисунок

Давайте подробно разберем задачу: ### Шаг 1: Построение графиков линий - **Парабола:** \( y = x^2 \). Это парабола, открытая вверх. - **Прямая:** \( y = 4x \). Это прямая, проходящая через начало координат, с уклоном 4. ### Шаг 2: Нахождение точек пересечения Чтобы найти точки пересечения, решим систему уравнений: \[ x^2 = 4x \] \[ x^2 - 4x = 0 \] \[ x(x - 4) = 0 \] Следовательно, \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \] Для \(x=0\): \[ y = 0^2=0 \] Для \(x=4\): \[ y=4 \times 4=16 \] **Точки пересечения:** - \((0,0)\) - \((4,16)\) ### Шаг 3: Определение области и построение рисунка Область ограничена линиями \( y=x^2 \) и \( y=4x \) между точками пересечения: - Левая граница: \(x=0\) - Правая граница: \(x=4\) - Нижняя граница: \( y = x^2 \) - Верхняя граница: \( y=4x \) --- ### Шаг 4: Вычисление площади Площадь фигуры можно найти через интеграл по \(x\): \[ \text{Площадь} = \int_{x=0}^{x=4} [\,\text{верхняя функция} - \text{нижняя функция}\,]\, dx \] Здесь верхняя функция \(y=4x\), нижняя \( y=x^2 \): \[ S= \int_0^4 (4x - x^2) dx \] Вычислим интеграл: \[ S= \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^4 \] Подставляем \(x=4\): \[ S= 2 \times 4^2 - \frac{4^3}{3} = 2 \times 16 - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3} \] Приведем к общему знаменателю: \[ S= \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} \] ### **Ответ:** **Площадь фигуры равна \(\boxed{\frac{32}{3}}\) квадратных единиц.** --- ### Рисунок Невозможно построить график в текстовом формате, но я рекомендую выполнить такие шаги: 1. Построить параболу \( y=x^2 \). 2. Построить прямую \( y=4x \). 3. Отметить точки пересечения \( (0, 0) \) и \( (4, 16) \). 4. Заключить область между этими линиями с ограничением по \(x\) от 0 до 4. --- Если нужны дополнительные разъяснения, я с удовольствием помогу!