1 y = 5x - 4 2 y = - x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5 3 y = (x - 1)(x ^ 2 + 3) 4 y = (x + 2) ^ 2 - 3x ^ 3 5 y = (5 + x)/(x - 3) 6 y = (x ^ 2 - 3x + sqrt(2)) ^ 5 7 y = (x ^ 2 - 3x)/(x ^ 2 + 1) 8 y = sqrt(x ^ 2 - 3) 9 y = ((2 - x)/(x + 3)) ^ 2 10 y = x(x ^ 2 - 3)(x ^ 2 + 1) 11 y = x ^ 3 * cos x 12 y = (1 - cos x)/(1 + cos x) 13 y = sqrt(7x - x ^ 2 - 12) находим производные

Рассмотрим каждую задачу по отдельности и найдём производную функции \( y \) по переменной \( x \). В некоторых случаях используем правила дифференцирования, такие как правило суммы, произведения, частного, цепное правило и стандартные производные функций. --- ### 1. \( y = 5x - 4 \) Это линейная функция. Производная: \[ \frac{dy}{dx} = 5 \] --- ### 2. \( y = - x^3 + 4x^2 - 5 \) Производим дифференцирование каждого члена: \[ \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 8x \] --- ### 3. \( y = (x - 1)(x^2 + 3) \) Здесь — произведение двух функций, используем правило произведения: \[ \frac{dy}{dx} = (x - 1)'\cdot (x^2 + 3) + (x - 1) \cdot (x^2 + 3)' \] Вычисляем производные: \[ (x - 1)' = 1 \] \[ (x^2 + 3)' = 2x \] Подставляем: \[ \frac{dy}{dx} = 1 \cdot (x^2 + 3) + (x - 1) \cdot 2x = x^2 + 3 + 2x(x - 1) \] Раскрываем скобки: \[ x^2 + 3 + 2x^2 - 2x = 3x^2 - 2x + 3 \] **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x + 3 } \] --- ### 4. \( y = (x + 2)^2 - 3x^3 \) Разделим на две части: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x + 2)^2 - \frac{d}{dx} 3x^3 \] Используем цепное правило для первого: \[ \frac{d}{dx} (x + 2)^2 = 2(x + 2) \] и для второго: \[ \frac{d}{dx} 3x^3 = 9x^2 \] Итого: \[ \frac{dy}{dx} = 2(x + 2) - 9x^2 \] --- ### 5. \( y = \frac{5 + x}{x - 3} \) Это частное. Используем правило дифференцирования для частного: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1)(x - 3) - (5 + x)(1)}{(x - 3)^2} \] После упрощения: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x - 3 - (5 + x)}{(x - 3)^2} = \frac{x - 3 - 5 - x}{(x - 3)^2} = \frac{-8}{(x - 3)^2} \] --- ### 6. \( y = (x^2 - 3x + \sqrt{2})^5 \) Используем цепное правило: Обозначим внутреннюю функцию как \( u = x^2 - 3x + \sqrt{2} \), тогда: \[ y = u^5 \] Производная: \[ \frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \frac{du}{dx} \] Найдем: \[ \frac{du}{dx} = 2x - 3 \] Итак: \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 5(x^2 - 3x + \sqrt{2})^4 (2x - 3) } \] --- ### 7. \( y = \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 1} \) Используем правило дифференцирования для частного: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(2x - 3)(x^2 + 1) - (x^2 - 3x) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \] Раскроем числитель: \[ (2x - 3)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 3x) \] Первый множитель: \[ 2x \cdot x^2 + 2x \cdot 1 - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 1 = 2x^3 + 2x - 3x^2 - 3 \] Второй: \[ 2x^3 - 6x^2 \] Вычитаем: \[ (2x^3 + 2x - 3x^2 - 3) - (2x^3 - 6x^2) = 2x^3 + 2x - 3x^2 - 3 - 2x^3 + 6x^2 \] Объединяем: \[ (2x^3 - 2x^3) + 2x + (-3x^2 + 6x^2) - 3 = 0 + 2x + 3x^2 - 3 \] Ответ: \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(x^2 + 1)^2} } \] --- ### 8. \( y = \sqrt{x^2 - 3} \) Обозначим \( u = x^2 - 3 \), тогда: \[ y = \sqrt{u} = u^{1/2} \] По цепному правилу: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dx} \] \[ = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 -3}} \] --- ### 9. \( y = \left(\frac{2 - x}{x + 3}\right)^2 \) Обозначим: \[ u = \frac{2 - x}{x + 3} \] тогда \( y = u^2 \). Производная: \[ \frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{du}{dx} \] Найдем \(\frac{du}{dx}\): Используем правило дифференцирования дроби: \[ u = \frac{2 - x}{x + 3} \] \[ \frac{du}{dx} = \frac{(0 - 1)(x + 3) - (2 - x) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{- (x + 3) - (2 - x)}{(x + 3)^2} \] Раскроем скобки: \[ - x - 3 - 2 + x = -5 \] Итак, \[ \frac{du}{dx} = \frac{-5}{(x + 3)^2} \] Продолжаем: \[ \frac{dy}{dx} = 2 u \cdot \frac{-5}{(x + 3)^2} = - \frac{10 u}{(x + 3)^2} \] Вернемся к \( u \): \[ u = \frac{2 - x}{x + 3} \] Итак: \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = - \frac{10 (2 - x)}{(x + 3)^3} } \] --- ### 10. \( y = x (x^2 - 3)(x^2 + 1) \) Это произведение трёх функций (или их можно рассмотреть как произведение двух, а затем — на \( x \)). Можно упростить перед дифференцированием методом распределения или применить правило произведения поэлементно. Рассмотрим: \[ y = x \cdot (x^2 - 3) \cdot (x^2 + 1) \] Пусть: \[ f(x) = x,\quad g(x) = (x^2 - 3), \quad h(x) = (x^2 + 1) \] Тогда: \[ y = f \cdot g \cdot h \] Используем формулу для дифференцирования произведения трёх функций: \[ \frac{dy}{dx} = f' g h + f g' h + f g h' \] Находим: \[ f' = 1 \] \[ g' = 2x \] \[ h' = 2x \] Отсюда: \[ \frac{dy}{dx} = 1 \cdot (x^2 - 3) \cdot (x^2 + 1) + x \cdot 2x \cdot (x^2 + 1) + x \cdot (x^2 - 3) \cdot 2x \] Раскроем каждое слагаемое: \[ (x^2 - 3)(x^2 + 1) + 2x^2 (x^2 + 1) + 2x^2 (x^2 - 3) \] --- ### 11. \( y = x^3 \cos x \) Это произведение: применим правило произведения: \[ \frac{dy}{dx} = (x^3)' \cos x + x^3 (\cos x)' \] \[ = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x \] --- ### 12. \( y = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \) Используем правило дифференцирования для частного: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(0 + \sin x)(1 + \cos x) - (1 - \cos x) \cdot (- \sin x)}{(1 + \cos x)^2} \] Обратите внимание, что: \[ \frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x \] \[ \frac{d}{dx}(1 + \cos x) = - \sin x \] Подставляем: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x (1 + \cos x) + (1 - \cos x) \sin x}{(1 + \cos x)^2} \] Объединяем числитель: \[ \sin x (1 + \cos x) + \sin x (1 - \cos x) = \sin x [ (1 + \cos x) + (1 - \cos x) ] = \sin x [2] \] Итого: \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin x}{(1 + \cos x)^2} } \] --- ### 13. \( y = \sqrt{7x - x^2 - 12} \) Обозначим: \[ u = 7x - x^2 - 12 \] Тогда: \[ y = \sqrt{u} = u^{1/2} \] По цепному правилу: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dx} \] Находим: \[ \frac{du}{dx} = 7 - 2x \] И тогда: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{7 - 2x}{\sqrt{7x - x^2 - 12}} \] --- Если понадобится более подробное объяснение какой-то конкретной задачи — обращайтесь!