1 y = 5x - 4 2 y = - x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5 3 y = (x - 1)(x ^ 2 + 3) 4 y = (x + 2) ^ 2 - 3x ^ 3 5 y = (5 + x)/(x - 3) 6 y = (x ^ 2 - 3x + sqrt(2)) ^ 5 7 y = (x ^ 2 - 3x)/(x ^ 2 + 1) 8…
1 y = 5x - 4 2 y = - x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5 3 y = (x - 1)(x ^ 2 + 3) 4 y = (x + 2) ^ 2 - 3x ^ 3 5 y = (5 + x)/(x - 3) 6 y = (x ^ 2 - 3x + sqrt(2)) ^ 5 7 y = (x ^ 2 - 3x)/(x ^ 2 + 1) 8 y = sqrt(x ^ 2 - 3) 9 y = ((2 - x)/(x + 3)) ^ 2 10 y = x(x ^ 2 - 3)(x ^ 2 + 1) 11 y = x ^ 3 * cos x 12 y = (1 - cos x)/(1 + cos x) 13 y = sqrt(7x - x ^ 2 - 12) находим производные
Рассмотрим каждую задачу по отдельности и найдём производную функции \( y \) по переменной \( x \). В некоторых случаях используем правила дифференцирования, такие как правило суммы, произведения, частного, цепное правило и стандартные производные функций.
1. \( y = 5x - 4 \)
Это линейная функция.
Производная:
\[ \frac{dy}{dx} = 5 \]
2. \( y = - x^3 + 4x^2 - 5 \)
Производим дифференцирование каждого члена:
\[ \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 8x \]
3. \( y = (x - 1)(x^2 + 3) \)
Здесь — произведение двух функций, используем правило произведения:
\[ \frac{dy}{dx} = (x - 1)'\cdot (x^2 + 3) + (x - 1) \cdot (x^2 + 3)' \]
Вычисляем производные:
\[ (x - 1)' = 1 \] \[ (x^2 + 3)' = 2x \]
Подставляем:
\[ \frac{dy}{dx} = 1 \cdot (x^2 + 3) + (x - 1) \cdot 2x = x^2 + 3 + 2x(x - 1) \]
Раскрываем скобки:
\[ x^2 + 3 + 2x^2 - 2x = 3x^2 - 2x + 3 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2x + 3 } \]
4. \( y = (x + 2)^2 - 3x^3 \)
Разделим на две части:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x + 2)^2 - \frac{d}{dx} 3x^3 \]
Используем цепное правило для первого:
\[ \frac{d}{dx} (x + 2)^2 = 2(x + 2) \]
и для второго:
\[ \frac{d}{dx} 3x^3 = 9x^2 \]
Итого:
\[ \frac{dy}{dx} = 2(x + 2) - 9x^2 \]
5. \( y = \frac{5 + x}{x - 3} \)
Это частное. Используем правило дифференцирования для частного:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(1)(x - 3) - (5 + x)(1)}{(x - 3)^2} \]
После упрощения:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x - 3 - (5 + x)}{(x - 3)^2} = \frac{x - 3 - 5 - x}{(x - 3)^2} = \frac{-8}{(x - 3)^2} \]
6. \( y = (x^2 - 3x + \sqrt{2})^5 \)
Используем цепное правило:
Обозначим внутреннюю функцию как \( u = x^2 - 3x + \sqrt{2} \), тогда:
\[ y = u^5 \]
Производная:
\[ \frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \frac{du}{dx} \]
Найдем:
\[ \frac{du}{dx} = 2x - 3 \]
Итак:
\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = 5(x^2 - 3x + \sqrt{2})^4 (2x - 3) } \]
7. \( y = \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 1} \)
Используем правило дифференцирования для частного:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(2x - 3)(x^2 + 1) - (x^2 - 3x) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \]
Раскроем числитель:
\[ (2x - 3)(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 3x) \]
Первый множитель:
\[ 2x \cdot x^2 + 2x \cdot 1 - 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 1 = 2x^3 + 2x - 3x^2 - 3 \]
Второй:
\[ 2x^3 - 6x^2 \]
Вычитаем:
\[ (2x^3 + 2x - 3x^2 - 3) - (2x^3 - 6x^2) = 2x^3 + 2x - 3x^2 - 3 - 2x^3 + 6x^2 \]
Объединяем:
\[ (2x^3 - 2x^3) + 2x + (-3x^2 + 6x^2) - 3 = 0 + 2x + 3x^2 - 3 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(x^2 + 1)^2} } \]
8. \( y = \sqrt{x^2 - 3} \)
Обозначим \( u = x^2 - 3 \), тогда:
\[ y = \sqrt{u} = u^{1/2} \]
По цепному правилу:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dx} \] \[ = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 -3}} \]
9. \( y = \left(\frac{2 - x}{x + 3}\right)^2 \)
Обозначим:
\[ u = \frac{2 - x}{x + 3} \] тогда \( y = u^2 \).
Производная:
\[ \frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{du}{dx} \]
Найдем \(\frac{du}{dx}\):
Используем правило дифференцирования дроби:
\[ u = \frac{2 - x}{x + 3} \]
\[ \frac{du}{dx} = \frac{(0 - 1)(x + 3) - (2 - x) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{- (x + 3) - (2 - x)}{(x + 3)^2} \]
Раскроем скобки:
\[ - x - 3 - 2 + x = -5 \]
Итак,
\[ \frac{du}{dx} = \frac{-5}{(x + 3)^2} \]
Продолжаем:
\[ \frac{dy}{dx} = 2 u \cdot \frac{-5}{(x + 3)^2} = - \frac{10 u}{(x + 3)^2} \]
Вернемся к \( u \):
\[ u = \frac{2 - x}{x + 3} \]
Итак:
\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = - \frac{10 (2 - x)}{(x + 3)^3} } \]
10. \( y = x (x^2 - 3)(x^2 + 1) \)
Это произведение трёх функций (или их можно рассмотреть как произведение двух, а затем — на \( x \)). Можно упростить перед дифференцированием методом распределения или применить правило произведения поэлементно.
Рассмотрим:
\[ y = x \cdot (x^2 - 3) \cdot (x^2 + 1) \]
Пусть:
\[ f(x) = x,\quad g(x) = (x^2 - 3), \quad h(x) = (x^2 + 1) \]
Тогда:
\[ y = f \cdot g \cdot h \]
Используем формулу для дифференцирования произведения трёх функций:
\[ \frac{dy}{dx} = f' g h + f g' h + f g h' \]
Находим:
\[ f' = 1 \] \[ g' = 2x \] \[ h' = 2x \]
Отсюда:
\[ \frac{dy}{dx} = 1 \cdot (x^2 - 3) \cdot (x^2 + 1) + x \cdot 2x \cdot (x^2 + 1) + x \cdot (x^2 - 3) \cdot 2x \]
Раскроем каждое слагаемое:
\[ (x^2 - 3)(x^2 + 1) + 2x^2 (x^2 + 1) + 2x^2 (x^2 - 3) \]
11. \( y = x^3 \cos x \)
Это произведение: применим правило произведения:
\[ \frac{dy}{dx} = (x^3)' \cos x + x^3 (\cos x)' \]
\[ = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x \]
12. \( y = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \)
Используем правило дифференцирования для частного:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(0 + \sin x)(1 + \cos x) - (1 - \cos x) \cdot (- \sin x)}{(1 + \cos x)^2} \]
Обратите внимание, что:
\[ \frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x \] \[ \frac{d}{dx}(1 + \cos x) = - \sin x \]
Подставляем:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x (1 + \cos x) + (1 - \cos x) \sin x}{(1 + \cos x)^2} \]
Объединяем числитель:
\[ \sin x (1 + \cos x) + \sin x (1 - \cos x) = \sin x [ (1 + \cos x) + (1 - \cos x) ] = \sin x [2] \]
Итого:
\[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin x}{(1 + \cos x)^2} } \]
13. \( y = \sqrt{7x - x^2 - 12} \)
Обозначим:
\[ u = 7x - x^2 - 12 \] Тогда:
\[ y = \sqrt{u} = u^{1/2} \]
По цепному правилу:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot \frac{du}{dx} \]
Находим:
\[ \frac{du}{dx} = 7 - 2x \]
И тогда:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{7 - 2x}{\sqrt{7x - x^2 - 12}} \]
Если понадобится более подробное объяснение какой-то конкретной задачи — обращайтесь!
