В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М — середина ребра АВ, точка К делит ребро DD1 в отношении 1 : 3, считая от точки D. Найдите утол между плоскостью МКВ1 и прямой BD1.

Давайте разберёмся ещё раз по шагам. **Задача:** - В кубе ABCDA1B1C1D1: - точка М — середина ребра АВ, - точка К делит ребро D D₁ в отношении 1:3, считая от D, - Нужно найти угол между плоскостью МКВ₁ и прямой БD₁. --- ### Шаг 1: Обозначение и координаты куба Пусть куб расположен так, что: - A — (0, 0, 0), - B — (a, 0, 0), - C — (a, a, 0), - D — (0, a, 0), - A₁ — (0, 0, a), - B₁ — (a, 0, a), - C₁ — (a, a, a), - D₁ — (0, a, a). ### Шаг 2: Координаты точек - М — середина АВ: \[ M = \left( \frac{0 + a}{2}, 0, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right) \] - Точка К делит D D₁ в отношении 1:3, считая от D. Значит, расстояние D до K равно 1/4 длины ребра D D₁ (так как 1 часть из 4): \[ D = (0, a, 0), \quad D_1 = (0, a, a) \] Соответственно: \[ K = D + \frac{1}{4} (D_1 - D) = (0, a, 0) + \frac{1}{4} (0, 0, a) = (0, a, \frac{a}{4}) \] - Б — (a, 0, 0). - B₁ — (a, 0, a). --- ### Шаг 3: Определение плоскости МКВ₁ Плоскость проходит через точки: - M: \(\left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right)\), - K: \(\left( 0, a, \frac{a}{4} \right)\), - B₁: \((a, 0, a)\). Найдем векторы: \[ \vec{MK} = K - M = \left( 0 - \frac{a}{2}, a - 0, \frac{a}{4} - 0 \right) = \left( -\frac{a}{2}, a, \frac{a}{4} \right) \] \[ \vec{MB_1} = B_1 - M = (a - \frac{a}{2}, 0 - 0, a - 0) = \left( \frac{a}{2}, 0, a \right) \] Найдем нормаль к плоскости — вектор, обусловленный произведением векторов \(\vec{MK} \times \vec{MB_1}\): \[ \vec{n} = \vec{MK} \times \vec{MB_1} \] Вычисление: \[ \begin{aligned} \vec{n} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & a & \frac{a}{4} \\ \frac{a}{2} & 0 & a \\ \end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i} \left( a \cdot a - \frac{a}{4} \cdot 0 \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{a}{2} \cdot a - \frac{a}{4} \cdot \frac{a}{2} \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{a}{2} \cdot 0 - a \cdot \frac{a}{2} \right) \end{aligned} \] Рассчитаем по частям: - \(\mathbf{i}\) компонент: \[ a \times a = a^2 \] - \(\mathbf{j}\) компонент (заметим знак минус): \[ - \left( -\frac{a}{2} \times a - \frac{a}{4} \times \frac{a}{2} \right) = - \left( -\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{8} \right) = - \left( -\frac{4a^2}{8} - \frac{a^2}{8} \right) = - \left( -\frac{5a^2}{8} \right) = \frac{5a^2}{8} \] - \(\mathbf{k}\) компонент: \[ - a \times \frac{a}{2} = - \frac{a^2}{2} \] Итак, \[ \boxed{ \vec{n} = (a^2, \frac{5a^2}{8}, -\frac{a^2}{2}) } \] Заменяем \(a^2\) на 1 для удобства (или можно оставить, так как далее нас интересует угол, а он не изменится после деления на |n|). Для подсчета угла коэффициенты не важны. --- ### Шаг 4: Определение прямой BD₁ Точка B — (a, 0, 0), точка D₁ — (0, a, a). Вектор прямой: \[ \vec{BD_1} = D_1 - B = (0 - a, a - 0, a - 0) = (-a, a, a) \] --- ### Шаг 5: Нахождение угла между плоскостью и прямой Угол \(\theta\) между плоскостью и прямой равен углу между нормалью к плоскости \(\vec{n}\) и направляющим вектором прямой \(\vec{d}\). Используем: \[ \cos \theta = \frac{ |\vec{n} \cdot \vec{d}| }{ |\vec{n}| |\vec{d}| } \] где: \[ \vec{n} = (a^2, \frac{5a^2}{8}, -\frac{a^2}{2}), \quad \vec{d} = (-a, a, a) \] Перемножим: \[ \vec{n} \cdot \vec{d} = a^2 \times (-a) + \frac{5a^2}{8} \times a + \left(-\frac{a^2}{2}\right) \times a \] Расчёт: \[ - a^3 + \frac{5a^3}{8} - \frac{a^3}{2} \] Общий знаменатель 8: \[ - \frac{8 a^3}{8} + \frac{5 a^3}{8} - \frac{4 a^3}{8} = \frac{(-8 + 5 - 4) a^3}{8} = \frac{-7 a^3}{8} \] --- ### Шаг 6: Модули векторов \[ |\vec{n}| = \sqrt{a^4 + \left(\frac{5a^2}{8}\right)^2 + \left(-\frac{a^2}{2}\right)^2} \] Рассмотрим: \[ a^4 + \frac{25 a^4}{64} + \frac{a^4}{4} \] Общий знаменатель 64: \[ \frac{64 a^4}{64} + \frac{25 a^4}{64} + \frac{16 a^4}{64} = \frac{(64 + 25 + 16)a^4}{64} = \frac{105 a^4}{64} \] Значит: \[ |\vec{n}| = \sqrt{\frac{105 a^4}{64}} = \frac{a^2}{8} \sqrt{105} \] Теперь найдем \(|\vec{d}|\): \[ |\vec{d}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3 a^2} = a \sqrt{3} \] --- ### Шаг 7: Подставляем в формулу \(\cos \theta\): \[ \cos \theta = \frac{\left| - \frac{7 a^3}{8} \right|}{|\vec{n}| \times |\vec{d}|} = \frac{\frac{7 a^3}{8}}{\frac{a^2}{8} \sqrt{105} \times a \sqrt{3}} \] Сократим: \[ = \frac{7 a^3 / 8}{(a^2 / 8) \sqrt{105} \times a \sqrt{3}} \] знаменатели: \[ (a^2 / 8) \times a \sqrt{3} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{8} \] Итак, \[ \cos \theta = \frac{7 a^3 / 8}{a^3 \sqrt{3} / 8} = \frac{7 a^3 / 8}{a^3 \sqrt{3} / 8} \] Сокращаем \(\frac{a^3}{8}\): \[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{3}} \] Но поскольку \(\cos \theta\) — это значение, не превышающее 1, очевидно, возникла ошибка в вычислении, скорее при условии что мы сравнили абсолютное значение произведения. Проверим ещё раз. --- ### **Пересчёт коэффициента \(\cos \theta\):** \[ \cos \theta = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{d} |}{|\vec{n}| |\vec{d}|} \] Где: \[ \vec{n} \cdot \vec{d} = - \frac{7 a^3}{8} \] \[ |\vec{n}| = \frac{a^2}{8} \sqrt{105} \] \[ |\vec{d}| = a \sqrt{3} \] Подставим: \[ \cos \theta = \frac{\frac{7 a^3}{8}}{\frac{a^2}{8} \sqrt{105} \times a \sqrt{3}} = \frac{\frac{7 a^3}{8}}{\left(\frac{a^2}{8} \times a \right) \sqrt{105} \sqrt{3}} \] Объемные коэффициенты: \(a^2/8 \times a = a^3/8\), тогда: \[ \cos \theta = \frac{\frac{7 a^3}{8}}{\frac{a^3}{8} \times \sqrt{105} \times \sqrt{3}} = \frac{7 a^3/8}{a^3/8 \times \sqrt{315}} = \frac{7 a^3/8}{a^3/8 \times \sqrt{315}} \] Сокращая \(a^3/8\): \[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{315}} \] Итак, окончательный результат: \[ \boxed{ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{315}} } \] или, если выразить через рациональное выражение: \[ \sqrt{315} = \sqrt{9 \times 35} = 3 \sqrt{35} \] поэтому: \[ \cos \theta = \frac{7}{3 \sqrt{35}} \] --- ### **Ответ:** **Угол между плоскостью МКВ₁ и прямой БD₁ определяется через** \[ \boxed{ \cos \theta = \frac{7}{3 \sqrt{35}} } \] или, если нужно, можно найти \(\theta\): \[ \theta = \arccos \left( \frac{7}{3 \sqrt{35}} \right). \] --- Если нужно, я могу дополнительно дать приблизительный числовой ответ!