В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М — середина ребра АВ, точка К делит ребро DD1 в отношении 1 : 3, считая от точки D. Найдите утол между плоскостью МКВ1 и прямой BD1.
Давайте разберёмся ещё раз по шагам.
Задача:
- В кубе ABCDA1B1C1D1:
- точка М — середина ребра АВ,
- точка К делит ребро D D₁ в отношении 1:3, считая от D,
- Нужно найти угол между плоскостью МКВ₁ и прямой БD₁.
Шаг 1: Обозначение и координаты куба
Пусть куб расположен так, что:
- A — (0, 0, 0),
- B — (a, 0, 0),
- C — (a, a, 0),
- D — (0, a, 0),
- A₁ — (0, 0, a),
- B₁ — (a, 0, a),
- C₁ — (a, a, a),
- D₁ — (0, a, a).
Шаг 2: Координаты точек
М — середина АВ: \[ M = \left( \frac{0 + a}{2}, 0, 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right) \]
Точка К делит D D₁ в отношении 1:3, считая от D.
Значит, расстояние D до K равно 1/4 длины ребра D D₁ (так как 1 часть из 4): \[ D = (0, a, 0), \quad D_1 = (0, a, a) \] Соответственно: \[ K = D + \frac{1}{4} (D_1 - D) = (0, a, 0) + \frac{1}{4} (0, 0, a) = (0, a, \frac{a}{4}) \]Б — (a, 0, 0).
B₁ — (a, 0, a).
Шаг 3: Определение плоскости МКВ₁
Плоскость проходит через точки:
- M: \(\left( \frac{a}{2}, 0, 0 \right)\),
- K: \(\left( 0, a, \frac{a}{4} \right)\),
- B₁: \((a, 0, a)\).
Найдем векторы:
\[ \vec{MK} = K - M = \left( 0 - \frac{a}{2}, a - 0, \frac{a}{4} - 0 \right) = \left( -\frac{a}{2}, a, \frac{a}{4} \right) \]
\[ \vec{MB_1} = B_1 - M = (a - \frac{a}{2}, 0 - 0, a - 0) = \left( \frac{a}{2}, 0, a \right) \]
Найдем нормаль к плоскости — вектор, обусловленный произведением векторов \(\vec{MK} \times \vec{MB_1}\):
\[ \vec{n} = \vec{MK} \times \vec{MB_1} \]
Вычисление:
\[ \begin{aligned} \vec{n} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & a & \frac{a}{4} \\ \frac{a}{2} & 0 & a \\ \end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i} \left( a \cdot a - \frac{a}{4} \cdot 0 \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{a}{2} \cdot a - \frac{a}{4} \cdot \frac{a}{2} \right) + \mathbf{k} \left( -\frac{a}{2} \cdot 0 - a \cdot \frac{a}{2} \right) \end{aligned} \]
Рассчитаем по частям:
- \(\mathbf{i}\) компонент:
\[ a \times a = a^2 \]
- \(\mathbf{j}\) компонент (заметим знак минус):
\[ - \left( -\frac{a}{2} \times a - \frac{a}{4} \times \frac{a}{2} \right) = - \left( -\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{8} \right) = - \left( -\frac{4a^2}{8} - \frac{a^2}{8} \right) = - \left( -\frac{5a^2}{8} \right) = \frac{5a^2}{8} \]
- \(\mathbf{k}\) компонент:
\[ - a \times \frac{a}{2} = - \frac{a^2}{2} \]
Итак,
\[ \boxed{ \vec{n} = (a^2, \frac{5a^2}{8}, -\frac{a^2}{2}) } \]
Заменяем \(a^2\) на 1 для удобства (или можно оставить, так как далее нас интересует угол, а он не изменится после деления на |n|). Для подсчета угла коэффициенты не важны.
Шаг 4: Определение прямой BD₁
Точка B — (a, 0, 0),
точка D₁ — (0, a, a).
Вектор прямой:
\[ \vec{BD_1} = D_1 - B = (0 - a, a - 0, a - 0) = (-a, a, a) \]
Шаг 5: Нахождение угла между плоскостью и прямой
Угол \(\theta\) между плоскостью и прямой равен углу между нормалью к плоскости \(\vec{n}\) и направляющим вектором прямой \(\vec{d}\).
Используем:
\[ \cos \theta = \frac{ |\vec{n} \cdot \vec{d}| }{ |\vec{n}| |\vec{d}| } \]
где:
\[ \vec{n} = (a^2, \frac{5a^2}{8}, -\frac{a^2}{2}), \quad \vec{d} = (-a, a, a) \]
Перемножим:
\[ \vec{n} \cdot \vec{d} = a^2 \times (-a) + \frac{5a^2}{8} \times a + \left(-\frac{a^2}{2}\right) \times a \]
Расчёт:
\[ - a^3 + \frac{5a^3}{8} - \frac{a^3}{2} \]
Общий знаменатель 8:
\[ - \frac{8 a^3}{8} + \frac{5 a^3}{8} - \frac{4 a^3}{8} = \frac{(-8 + 5 - 4) a^3}{8} = \frac{-7 a^3}{8} \]
Шаг 6: Модули векторов
\[ |\vec{n}| = \sqrt{a^4 + \left(\frac{5a^2}{8}\right)^2 + \left(-\frac{a^2}{2}\right)^2} \]
Рассмотрим:
\[ a^4 + \frac{25 a^4}{64} + \frac{a^4}{4} \]
Общий знаменатель 64:
\[ \frac{64 a^4}{64} + \frac{25 a^4}{64} + \frac{16 a^4}{64} = \frac{(64 + 25 + 16)a^4}{64} = \frac{105 a^4}{64} \]
Значит:
\[ |\vec{n}| = \sqrt{\frac{105 a^4}{64}} = \frac{a^2}{8} \sqrt{105} \]
Теперь найдем \(|\vec{d}|\):
\[ |\vec{d}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3 a^2} = a \sqrt{3} \]
Шаг 7: Подставляем в формулу \(\cos \theta\):
\[ \cos \theta = \frac{\left| - \frac{7 a^3}{8} \right|}{|\vec{n}| \times |\vec{d}|} = \frac{\frac{7 a^3}{8}}{\frac{a^2}{8} \sqrt{105} \times a \sqrt{3}} \]
Сократим:
\[ = \frac{7 a^3 / 8}{(a^2 / 8) \sqrt{105} \times a \sqrt{3}} \]
знаменатели:
\[ (a^2 / 8) \times a \sqrt{3} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{8} \]
Итак,
\[ \cos \theta = \frac{7 a^3 / 8}{a^3 \sqrt{3} / 8} = \frac{7 a^3 / 8}{a^3 \sqrt{3} / 8} \]
Сокращаем \(\frac{a^3}{8}\):
\[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{3}} \]
Но поскольку \(\cos \theta\) — это значение, не превышающее 1, очевидно, возникла ошибка в вычислении, скорее при условии что мы сравнили абсолютное значение произведения.
Проверим ещё раз.
Пересчёт коэффициента \(\cos \theta\):
\[ \cos \theta = \frac{| \vec{n} \cdot \vec{d} |}{|\vec{n}| |\vec{d}|} \]
Где:
\[ \vec{n} \cdot \vec{d} = - \frac{7 a^3}{8} \] \[ |\vec{n}| = \frac{a^2}{8} \sqrt{105} \] \[ |\vec{d}| = a \sqrt{3} \]
Подставим:
\[ \cos \theta = \frac{\frac{7 a^3}{8}}{\frac{a^2}{8} \sqrt{105} \times a \sqrt{3}} = \frac{\frac{7 a^3}{8}}{\left(\frac{a^2}{8} \times a \right) \sqrt{105} \sqrt{3}} \]
Объемные коэффициенты: \(a^2/8 \times a = a^3/8\),
тогда:
\[ \cos \theta = \frac{\frac{7 a^3}{8}}{\frac{a^3}{8} \times \sqrt{105} \times \sqrt{3}} = \frac{7 a^3/8}{a^3/8 \times \sqrt{315}} = \frac{7 a^3/8}{a^3/8 \times \sqrt{315}} \]
Сокращая \(a^3/8\):
\[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{315}} \]
Итак, окончательный результат:
\[ \boxed{ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{315}} } \]
или, если выразить через рациональное выражение:
\[ \sqrt{315} = \sqrt{9 \times 35} = 3 \sqrt{35} \]
поэтому:
\[ \cos \theta = \frac{7}{3 \sqrt{35}} \]
Ответ:
Угол между плоскостью МКВ₁ и прямой БD₁ определяется через
\[ \boxed{ \cos \theta = \frac{7}{3 \sqrt{35}} } \]
или, если нужно, можно найти \(\theta\):
\[ \theta = \arccos \left( \frac{7}{3 \sqrt{35}} \right). \]
Если нужно, я могу дополнительно дать приблизительный числовой ответ!
