Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам. 1. Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного…

Давайте разберём задачу подробнее.

Нам дано трёхзначное число, обозначим его цифры как \(A, B, C\).

По правилам:

1. Вычисляются две суммы:

   • Первая сумма: \(A + B\)
   • Вторая сумма: \(B + C\)

2. Эти суммы записываются друг за другом в порядке убывания, то есть большую сумму идёт первой, а меньшую — второй.

Задача: найти минимальное трёхзначное число, при обработке которого автомат выдаст число 1412.

---

Шаг 1: Определим, какие суммы дают результат 1412

Результат — это конкатенация двух чисел:
\[ \text{большая сумма} \, \text{меньшая сумма} \]

Комбинация 1412 может быть получена двумя способами:

• Большая сумма: 14, меньшая сумма: 12
• Или наоборот — но порядок указывает, что всегда сначала идёт максимальное число, затем — минимальное.

Обратимся к варианту:

• Большая сумма = 14
• Меньшая сумма = 12

или

• Большая сумма = 12
• Меньшая сумма = 14 — это невозможно, потому что максимум для суммы двух цифр — 9 + 9 = 18, так что оба варианта возможны.

Но условие говорит, что результат — число 1412, где первая часть 14 — это первая сумма, а 12 — вторая. Итак, первая сумма должна быть 14, вторая — 12, потому что иначе результат не совпадёт.

Следовательно:

• \(A + B = 14\) (большая сумма)
• \(B + C = 12\) (меньшая сумма)

---

Шаг 2: Найти цифры \(A, B, C\), удовлетворяющие этим уравнениям

Из уравнений: \[ A + B = 14 \] \[ B + C = 12 \]

Из второго уравнения выразим \(C\): \[ C = 12 - B \]

Так как цифры — это числа от 0 до 9, проверим возможные значения \(B\):

• Так как \(A + B = 14\) и \(A \ge 1\) (так как число трёхзначное), \(A\) должно быть хотя бы 5, потому что:

\[ A = 14 - B \]

Также \(A\) и \(B\) — цифры, и \(A \ge 1\), \(B \ge 0\).

Пусть \(B\) — это цифра 0 до 9.

---

Шаг 3: Перебор вариантов для \(B\)

• \(B = 0 \rightarrow A = 14 - 0 = 14\) — не подходит, так как цифра больше 9.
• \(B = 1 \rightarrow A = 13\) — не подходит.
• \(B = 2 \rightarrow A = 12\) — не подходит.
• \(B = 3 \rightarrow A = 11\) — не подходит.
• \(B = 4 \rightarrow A = 10\) — не подходит.
• \(B = 5 \rightarrow A = 9\) — подходит.

Проверим \(C\):

\[ C = 12 - B, \quad B=5 \Rightarrow C= 12 - 5=7 \]

Цифра \(C=7\), она допустима.

---

Шаг 4: Проверка полученной тройки цифр \(A, B, C\)

• \(A=9\), \(B=5\), \(C=7\)

Проверим суммы:

• \(A + B = 9+5=14\) — подходит.
• \(B + C= 5+7=12\) — подходит.

Обратим внимание, что число — трёхзначное и соответствует условию.

---

Шаг 5: Построение исходного числа

Исходное число: 957

---

Итог:

Минимальное трёхзначное число, при обработке которого автомат выдает 1412 — это 957.

---

Ответ:

957