Автомат получает на вход трёхзначное число. По этому числу строится новое число по следующим правилам. 1.  Складываются первая и вторая, а также вторая и третья цифры исходного числа. 2.  Полученные два числа записываются друг за другом в порядке убывания (без разделителей). Пример. Исходное число: 348. Суммы: 3 + 4  =  7; 4 + 8  =  12. Результат: 127. Укажите наименьшее число, в результате обработки которого автомат выдаст число 1412.

Давайте разберём задачу подробнее. Нам дано трёхзначное число, обозначим его цифры как \(A, B, C\). По правилам: 1. Вычисляются две суммы: - Первая сумма: \(A + B\) - Вторая сумма: \(B + C\) 2. Эти суммы записываются друг за другом в порядке убывания, то есть большую сумму идёт первой, а меньшую — второй. Задача: найти минимальное трёхзначное число, при обработке которого автомат выдаст число 1412. --- ### Шаг 1: Определим, какие суммы дают результат 1412 Результат — это конкатенация двух чисел: \[ \text{большая сумма} \, \text{меньшая сумма} \] Комбинация 1412 может быть получена двумя способами: - Большая сумма: 14, меньшая сумма: 12 - Или наоборот — но порядок указывает, что всегда сначала идёт максимальное число, затем — минимальное. Обратимся к варианту: - Большая сумма = 14 - Меньшая сумма = 12 или - Большая сумма = 12 - Меньшая сумма = 14 — это невозможно, потому что максимум для суммы двух цифр — 9 + 9 = 18, так что оба варианта возможны. Но условие говорит, что результат — число 1412, где первая часть 14 — это первая сумма, а 12 — вторая. Итак, первая сумма должна быть 14, вторая — 12, потому что иначе результат не совпадёт. **Следовательно:** - \(A + B = 14\) (большая сумма) - \(B + C = 12\) (меньшая сумма) --- ### Шаг 2: Найти цифры \(A, B, C\), удовлетворяющие этим уравнениям Из уравнений: \[ A + B = 14 \] \[ B + C = 12 \] Из второго уравнения выразим \(C\): \[ C = 12 - B \] Так как цифры — это числа от 0 до 9, проверим возможные значения \(B\): - Так как \(A + B = 14\) и \(A \ge 1\) (так как число трёхзначное), \(A\) должно быть хотя бы 5, потому что: \[ A = 14 - B \] Также \(A\) и \(B\) — цифры, и \(A \ge 1\), \(B \ge 0\). Пусть \(B\) — это цифра 0 до 9. --- ### Шаг 3: Перебор вариантов для \(B\) - \(B = 0 \rightarrow A = 14 - 0 = 14\) — не подходит, так как цифра больше 9. - \(B = 1 \rightarrow A = 13\) — не подходит. - \(B = 2 \rightarrow A = 12\) — не подходит. - \(B = 3 \rightarrow A = 11\) — не подходит. - \(B = 4 \rightarrow A = 10\) — не подходит. - \(B = 5 \rightarrow A = 9\) — подходит. Проверим \(C\): \[ C = 12 - B, \quad B=5 \Rightarrow C= 12 - 5=7 \] Цифра \(C=7\), она допустима. --- ### Шаг 4: Проверка полученной тройки цифр \(A, B, C\) - \(A=9\), \(B=5\), \(C=7\) Проверим суммы: - \(A + B = 9+5=14\) — подходит. - \(B + C= 5+7=12\) — подходит. Обратим внимание, что число — трёхзначное и соответствует условию. --- ### Шаг 5: Построение исходного числа Исходное число: **957** --- ### Итог: Минимальное трёхзначное число, при обработке которого автомат выдает 1412 — это **957**. --- ## Ответ: **957**