№1. Постройте треугольную прямую призму и укажите: 1. Вершины 2. Ребра 3. Боковые грани 4. Основания 5. Высоту призмы 6. Диагональ призмы Запишите формулы 7. S(бок)= 8. S(полн)=…

Давайте подробно разберем задачи по построению и характеристикам треугольной прямой призмы.

---

1. Вершины

Пусть основанием призмы будет равносторонний треугольник, и он расположен в плоскости xy.

Обозначим вершины основания так:

• \( A (0, 0, 0) \)
• \( B (a, 0, 0) \)
• \( C \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a, 0 \right) \)

Высоту призмы обозначим как \( h \), и вершины верхнего основания — так:

• \( A' (0, 0, h) \)
• \( B' (a, 0, h) \)
• \( C' \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a, h \right) \)

---

2. Ребра

Ребра бывают:

• Основание: \( AB, BC, CA \)
• Боковые: \( AA', BB', CC' \)
• Ряды соединяющих основание и верх (по вершинам):
  • \( A B', B A', B C', C B', C A', A C' \), но они не все нужны, так как призма — это объект с параллельными основаниями.

Отметим основные:

• \( AB, BC, CA \) — основание
• \( A'B', B'C', C'A' \) — верхнее основание
• \( AA', BB', CC' \) — боковые рёбра

---

3. Боковые грани

Боковые грани — это параллелограммы, соединяющие соответствующие вершины основания и верхнего основания:

• \( AA' B'B \)
• \( BB' C' C \)
• \( CC' A' A \)

Каждая такая грань — параллелограмм.

---

4. Основания

Основания — два треугольника:

• Нижнее: \( \triangle ABC \)
• Верхнее: \( \triangle A'B'C' \)

Они параллельны и равны по форме.

---

5. Высота призмы

Высота \( h \) — это перпендикуляр, соединяющий основания, проводимый в вертикальной плоскости.
Таким образом, \( h \) — это разница по z-координате между вершинами верхнего и нижнего основания: \[ h = z_{A'} - z_A = h \]

---

6. Диагональ призмы

Диагональ от одной вершины нижнего основания к противоположной вершине верхнего основания, например: \[ d_{AC'} = \sqrt{(x_A - x_{C'})^2 + (y_A - y_{C'})^2 + (z_A - z_{C'})^2} \]

Подставляя координаты и упрощая: \[ d_{AC'} = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3 a^2}{4} + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2} \]

Аналогично, все диагонали, соединяющие вершины противоположных оснований, равны \( \sqrt{a^2 + h^2} \).

---

Формулы

7. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \):

Площадь боковых граней — это сумма площадей трех параллелограммов:

\[ S_{бок} = (P_{тр.}\text{ основания} \times h) \]

Общая площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = (P_{осн} + P_{верх}) \times h, \] где \( P_{осн} \) — периметр основания.

Для равностороннего треугольника со стороной \( a \): \[ P_{осн} = 3a, \] тогда \[ S_{бок} = 3a \times h \]

---

8. Полная площадь поверхности \( S_{полн} \):

Суммируем площадь двух треугольных оснований и боковой поверхности: \[ S_{полн} = 2 \times S_{осн} + S_{бок} \] Площадь одного равностороннего треугольника: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Итак, \[ S_{полн} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + 3a h = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 + 3a h \]

---

9. Объем \( V \):

Объем треугольной призмы равен площади основания на высоту: \[ V = S_{осн} \times h = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h \]

---

Итоговые формулы:

\[ \boxed{ \begin{aligned} & \text{Вершины:} \\ & A(0,0,0), \quad B(a,0,0), \quad C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a, 0 \right), \\ & A' (0, 0, h), \quad B'(a, 0, h), \quad C'\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a, h \right) \\[8pt] & \text{Ребра:} \\ & AB, BC, CA, \quad A'B', B'C', C'A', \quad AA', BB', CC' \\[8pt] & \text{Боковые грани:} \\ & \text{параллелограммы } AA'B'B, \ BB'C'C, \ CC'A'A \\[8pt] & \text{Основания:} \\ & \triangle ABC \text{ и } \triangle A'B'C' \\[8pt] & \text{Высота:} \\ & h \\[8pt] & \text{Диагональ призмы:} \\ & d = \sqrt{a^2 + h^2} \\[8pt] & \text{Площадь боковой поверхности:} \\ & S_{бок} = 3 a h \\[8pt] & \text{Площадь полной поверхности:} \\ & S_{полн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 + 3 a h \\[8pt] & \text{Объем:} \\ & V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times h \end{aligned} } \]

Если есть дополнительные условия или параметры — уточняйте!