Рассмотрим задачу по законам термодинамики для идеального газа. В задаче даны исходные параметры и параметры после сжатия:
- Исходная температура: ( T_1 = 27^\circ C )
- Исходное давление: ( P_1 = 70, \text{kPa} )
- Коэффициент сжатия: ( V_1 / V_2 = 15 ), или ( V_2 = V_1 / 15 )
- Конечное давление: ( P_2 = 3,5, \text{МПа} = 3500, \text{kPa} )
- Необходимо найти конечную температуру: ( T_2 )
Шаг 1. Переводим температуру в Кельвины
Температура в Кельвинах:
[
T_1 = 27^\circ C + 273 = 300, \text{К}
]
Шаг 2. Используем уравнение для изоимпертебрического процесса
Так как объем уменьшается, а давление и температура меняются, предполагается, что процесс — это адиабатический или близкий к нему. Для идеального газа при адиабатическом процессе выполнено соотношение:
[
\frac{P_1 V_1^\gamma}{T_1} = \frac{P_2 V_2^\gamma}{T_2}
]
или, согласно уравнению адиабаты:
[
P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma
]
и
[
T_2 = T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}
]
где ( \gamma ) — показатель адиабаты для воздуха. Для воздуха ( \gamma \approx 1.4 ).
Шаг 3. Вычисляем ( T_2 )
Подставляем значения:
[
T_2 = 300, \text{К} \times \left( \frac{3500, \text{kPa}}{70, \text{kPa}} \right)^{\frac{1.4 - 1}{1.4}}
]
Упрощаем внутри скобок:
[
\frac{3500}{70} = 50
]
Далее выражение:
[
T_2 = 300 \times 50^{\frac{0.4}{1.4}} = 300 \times 50^{0.2857}
]
Посчитаем ( 50^{0.2857} ):
Используем логарифмы или калькулятор:
[
\ln 50 \approx 3.912
]
[
0.2857 \times 3.912 \approx 1.119
]
[
e^{1.119} \approx 3.06
]
Тогда:
[
T_2 \approx 300 \times 3.06 \approx 918, \text{К}
]
Итог:
Температура воздуха в конце такта сжатия равна примерно 918 К.
Если нужно, можно перевести обратно в °C:
[
T_2^\circ C = 918 - 273 \approx 645^\circ C
]
Ответ: В конце такта сжатия температура воздуха составляет примерно 918 К.
