решить через дискриминант Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288л см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра

Давайте решим задачу пошагово с помощью дискриминанта и объяснениями.

Перепишем условия задачи:

• Высота цилиндра \( h \) на 12 см больше радиуса основания \( r \):
  \[ h = r + 12 \]
• Полная площадь поверхности цилиндра равна 288π см².
  Формула полной поверхности цилиндра:
  \[ S_{total} = 2\pi r^2 + 2\pi r h \] где:
  • \( 2\pi r^2 \) — площадь двух оснований,
  • \( 2\pi r h \) — боковая поверхность.

Подставим \( h = r + 12 \): \[ 2\pi r^2 + 2\pi r (r + 12) = 288\pi \]

Шаг 1: Упростим уравнение

Раскроем скобки: \[ 2\pi r^2 + 2\pi r^2 + 24\pi r = 288\pi \] Объединим подобные члены: \[ (2\pi r^2 + 2\pi r^2) + 24\pi r = 288\pi \] \[ 4\pi r^2 + 24\pi r = 288\pi \]

Разделим всё уравнение на \(\pi\): \[ 4 r^2 + 24 r = 288 \]

Шаг 2: Приведем к уравнению квадратного вида

Упростим уравнение: \[ 4 r^2 + 24 r - 288 = 0 \] Разделим всё на 4: \[ r^2 + 6 r - 72 = 0 \]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a=1 \), \( b=6 \), \( c=-72 \).

Найдем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324 \]

Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{324} = 18 \]

Теперь находим корни уравнения: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 18}{2} \]

Первый корень: \[ r = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Второй корень: \[ r = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]

Так как радиус не может быть отрицательным, принимаем: \[ r = 6 \text{ см} \]

Шаг 4: Находим высоту \( h \)

Помним, что: \[ h = r + 12 = 6 + 12 = 18 \text{ см} \]

Итог:

• Радиус основания: 6 см
• Высота цилиндра: 18 см

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснение подробнее — пишите!