Давайте решим задачу пошагово с помощью дискриминанта и объяснениями.
Перепишем условия задачи:
- Высота цилиндра ( h ) на 12 см больше радиуса основания ( r ):
[
h = r + 12
]
- Полная площадь поверхности цилиндра равна 288π см².
Формула полной поверхности цилиндра:
[
S_{total} = 2\pi r^2 + 2\pi r h
]
где:
- ( 2\pi r^2 ) — площадь двух оснований,
- ( 2\pi r h ) — боковая поверхность.
Подставим ( h = r + 12 ):
[
2\pi r^2 + 2\pi r (r + 12) = 288\pi
]
Шаг 1: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
[
2\pi r^2 + 2\pi r^2 + 24\pi r = 288\pi
]
Объединим подобные члены:
[
(2\pi r^2 + 2\pi r^2) + 24\pi r = 288\pi
]
[
4\pi r^2 + 24\pi r = 288\pi
]
Разделим всё уравнение на (\pi):
[
4 r^2 + 24 r = 288
]
Шаг 2: Приведем к уравнению квадратного вида
Упростим уравнение:
[
4 r^2 + 24 r - 288 = 0
]
Разделим всё на 4:
[
r^2 + 6 r - 72 = 0
]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a=1 ), ( b=6 ), ( c=-72 ).
Найдем дискриминант:
[
D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18
]
Теперь находим корни уравнения:
[
r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 18}{2}
]
Первый корень:
[
r = \frac{-6 + 18}{2} = \frac{12}{2} = 6
]
Второй корень:
[
r = \frac{-6 - 18}{2} = \frac{-24}{2} = -12
]
Так как радиус не может быть отрицательным, принимаем:
[
r = 6 \text{ см}
]
Шаг 4: Находим высоту ( h )
Помним, что:
[
h = r + 12 = 6 + 12 = 18 \text{ см}
]
Итог:
- Радиус основания: 6 см
- Высота цилиндра: 18 см
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснение подробнее — пишите!
