Для решения задачи о том, сколькими способами можно выбрать 6 пирожных из 11 разных сортов, разрешая выбирать одинаковые или разные пирожные, применим комбинаторную модель — задачу на «размещение с повторениями».
Постановка задачи
- Есть 11 видов пирожных (разные сорта).
- Нужно выбрать 6 пирожных.
- Можно выбрать все одинаковые или все разные пирожные.
Важное уточнение:
- Мы считаем, что пирожные одинакового сорта одинаковы.
- Порядок выбора не важен (выбираем набор, а не последовательность).
Это классическая задача на комбинации с повторениями.
Формула
Количество вариантов для выбора ( k ) элементов из ( n ) видов с возможностью повторения даёт формула:
[
C(n + k - 1, k)
]
где
- ( n = 11 ) (разных сортов),
- ( k = 6 ) (выбранных пирожных).
Решение
Подставим значения:
[
C(11 + 6 - 1, 6) = C(16, 6)
]
Рассчитаем ( C(16, 6) ):
[
C(16, 6) = \frac{16!}{6! \times (16 - 6)!} = \frac{16!}{6! \times 10!}
]
Вычисление
Можно упростить и подсчитать:
[
C(16, 6) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
]
Посчитаем числитель и знаменатель:
Числитель:
- ( 16 \times 15 = 240 )
- ( 240 \times 14 = 3360 )
- ( 3360 \times 13 = 43680 )
- ( 43680 \times 12 = 524160 )
- ( 524160 \times 11 = 5765760 )
Знаменатель:
[
6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
]
Теперь делим:
[
\frac{5765760}{720} = 8008
]
Итог
Ответ:
Существует 8008 способов выбрать 6 пирожных из 11 разных сортов, если можно выбирать одинаковые или разные пирожные.
