В прямоугольном треугольнике АВС АВ – больший катет, ВС – меньший. Сумма катетов равна 23, а разность 7. Найдите расстояние от точки С до катета АВ.

Рассмотрим задачу: в прямоугольном треугольнике ABC, где АВ — больший катет, а ВС — меньший. Из условий нам даны: - сумма катетов: \(AB + BC = 23\) - разность катетов: \(AB - BC = 7\) - нужно найти расстояние от точки C до катета АВ. --- ### Шаг 1. Обозначения Обозначим: - \(AB = x\) (больший катет) - \(BC = y\) (меньший катет) По условию: \[ x + y = 23 \quad \text{(1)} \] \[ x - y = 7 \quad \text{(2)} \] --- ### Шаг 2. Решение системы уравнений Сложим уравнения (1) и (2): \[ (x + y) + (x - y) = 23 + 7 \implies 2x = 30 \implies x = 15 \] Подставим \(x = 15\) в уравнение (1): \[ 15 + y = 23 \implies y = 8 \] Значит, катеты: \(AB = 15\), \(BC = 8\). --- ### Шаг 3. Найти гипотенузу Гипотенуза \(AC\): \[ AC = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \] --- ### Шаг 4. Расположение точек Рассмотрим прямой треугольник \(ABC\): - Пусть \(A\) — точка на координатной оси \(Ox\), - \(B\) — на оси \(Oy\), - \(C\) — гипотетическая точка, вершина прямого угла, расположенная в начале системы координат. Так как: \[ AB = 15 \quad \Rightarrow \quad A(15, 0) \] \[ BC = 8 \quad \Rightarrow \quad B(0, 8) \] Но поскольку \(ABC\) — прямой треугольник, расположение сторон так, чтобы \(AB\) и \(BC\) были катетами, а гипотенуза \(AC\), по сути, точка \(C\) — это вершина правого угла (например, в начале координат). --- ### Шаг 5. Положение точки \(C\) Обозначим точку \(C\) как \((x_c, y_c)\). - Для определения расстояния от точки \(C\) до катета \(AB\), нужно знать, где находится этот катет — предположим, что он лежит на оси \(x\): то есть, катет \(AB\) — горизонтальный, а катет \(BC\) — вертикальный. Пусть: - \(A = (0,0)\), - \(B = (15, 0)\), - \(C = (0,8)\). Тогда: - катет \(AB\) — это ось \(Ox\), - катет \(BC\) — это ось \(Oy\), - гипотенуза \(AC\) — соединяет точки \((0,0)\) и \((0,8)\). Так как дано, что \(AB\) — больший катет, и \(BC\) — меньший, то, по этим данным, расположение: - \(A = (0, 0)\), - \(B = (15, 0)\), - \(C = (0, 8)\). --- ### Шаг 6. Расстояние от точки \(C\) до катета \(AB\) Катет \(AB\) — это отрезок на оси \(x\) от \((0,0)\) до \((15,0)\). Положение точки \(C = (0,8)\). Расстояние от точки \(C\) до катета \(AB\): - Катет \(AB\) — это часть оси \(Ox\). - Расстояние от точки \(C = (0,8)\) до этой оси — это просто длина перпендикуляра, проведённого из точки \(C\) на ось \(Ox\). Поскольку точка \(C\) имеет абсциссу 0, а катет находится на оси \(x\), расстояние равно абсолютному значению \(y\)-координаты точки \(C\): \[ \boxed{\text{Расстояние} = 8} \] --- ### Итог: **Ответ: расстояние от точки \(C\) до катета \(AB\) равно \(\boxed{8}\).**