Основанием прямой призмы АBCA1B1C1 является прямоугольный треугольник с катетами АB = 6 и BC = 8. Высота призмы равна 2. Найти площадь сечения призмы, проходящего через середины ребер ВС, BВ1 и A1B1.

Рассмотрим задачу по шагам и подробно объясним, как найти площадь сечения призмы. **Дано:** - Основание — прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник ABC, где: - \( AB = 6 \) - \( BC = 8 \) - Высота призмы \( h = 2 \) - Сечение проходит через середины ребер: - \( M \) — середина ребра \( BC \) - \( N \) — середина ребра \( B B_1 \) - \( P \) — середина ребра \( A_1 B_1 \) **Задача:** найти площадь сечения, проходящего через эти точки. --- ### Шаг 1: Расположение основания и обозначения Рассмотрим основание — прямоугольный треугольник \( ABC \): - Пусть \( A \) — начало координат: \( A(0,0,0) \) - Пусть \( B(6,0,0) \) — лежит на оси \( x \) - Пусть \( C(0,8,0) \) — лежит на оси \( y \) Это удобно, потому что \( AB = 6 \), а \( BC = 8 \). Проверим, что \( ABC \) — прямой треугольник с гипотенузой \( AC \): \[ AC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = 8 \] Но так как по условию \( AB = 6 \), \( BC = 8 \), то треугольник \( ABC \) прямой, где: - \( AB \) — по оси \( x \), - \( BC \) — по оси \( y \), - \( AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \). --- ### Шаг 2: Вершины призмы и её высота Высота равна 2, значит вершины верхнего основания находятся на \( z = 2 \): - \( A_1(0,0,2) \) - \( B_1(6,0,2) \) - \( C_1(0,8,2) \) --- ### Шаг 3: Определение точек сечения - \( M \) — середина \( BC \): \[ M = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{8 + 0}{2}, 0 \right) = (3, 4, 0) \] (Проверьте: середина \( BC \) — это точки \( B(6,0,0) \), \( C(0,8,0) \)). - \( N \) — середина \( B B_1 \): \[ N = \left( \frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (6, 0, 1) \] - \( P \) — середина \( A_1 B_1 \): \[ P = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) = (3, 0, 2) \] --- ### Шаг 4: Построение сечения Левая часть — точки \( M(3, 4, 0) \), \( N(6, 0, 1) \), \( P(3, 0, 2) \): Нам нужно найти площадь треугольника \( MNP \). ### Шаг 5: Векторное исчисление Найдем векторы: \[ \vec{MN} = N - M = (6 - 3, 0 - 4, 1 - 0) = (3, -4, 1) \] \[ \vec{MP} = P - M = (3 - 3, 0 - 4, 2 - 0) = (0, -4, 2) \] Площадь треугольника \( MNP \): \[ S = \frac{1}{2} |\vec{MN} \times \vec{MP}| \] Вычислим векторное произведение: \[ \vec{MN} \times \vec{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 0 & -4 & 2 \end{vmatrix} \] По формуле расширенной determinant: \[ = \mathbf{i}((-4) \times 2 - 1 \times (-4)) - \mathbf{j}(3 \times 2 - 1 \times 0) + \mathbf{k}(3 \times (-4) - (-4) \times 0) \] Рассчитаем компоненты: - Компонента \( \mathbf{i} \): \[ (-4) \times 2 - 1 \times (-4) = -8 + 4 = -4 \] - Компонента \( \mathbf{j} \): \[ 3 \times 2 - 1 \times 0 = 6 - 0 = 6 \] Обратите внимание: знак перед ним минус. - Компонента \( \mathbf{k} \): \[ 3 \times (-4) - (-4) \times 0 = -12 - 0 = -12 \] Итак, \[ \vec{MN} \times \vec{MP} = (-4, -6, -12) \] Нахождение модуля: \[ |\vec{MN} \times \vec{MP}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14 \] ### Итоговая площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times 14 = 7 \] --- ### **Ответ:** **Площадь сечения, проходящего через середины указанных ребер, равна \(\boxed{7}\).**