Основанием прямой призмы АBCA1B1C1 является прямоугольный треугольник с катетами АB = 6 и BC = 8. Высота призмы равна 2. Найти площадь сечения призмы, проходящего через середины…

Рассмотрим задачу по шагам и подробно объясним, как найти площадь сечения призмы.

Дано:

• Основание — прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник ABC, где:
  • \( AB = 6 \)
  • \( BC = 8 \)
• Высота призмы \( h = 2 \)
• Сечение проходит через середины ребер:
  • \( M \) — середина ребра \( BC \)
  • \( N \) — середина ребра \( B B_1 \)
  • \( P \) — середина ребра \( A_1 B_1 \)

Задача: найти площадь сечения, проходящего через эти точки.

---

Шаг 1: Расположение основания и обозначения

Рассмотрим основание — прямоугольный треугольник \( ABC \):

• Пусть \( A \) — начало координат: \( A(0,0,0) \)
• Пусть \( B(6,0,0) \) — лежит на оси \( x \)
• Пусть \( C(0,8,0) \) — лежит на оси \( y \)

Это удобно, потому что \( AB = 6 \), а \( BC = 8 \).

Проверим, что \( ABC \) — прямой треугольник с гипотенузой \( AC \): \[ AC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = 8 \]

Но так как по условию \( AB = 6 \), \( BC = 8 \), то треугольник \( ABC \) прямой, где:

• \( AB \) — по оси \( x \),
• \( BC \) — по оси \( y \),
• \( AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \).

---

Шаг 2: Вершины призмы и её высота

Высота равна 2, значит вершины верхнего основания находятся на \( z = 2 \):

• \( A_1(0,0,2) \)
• \( B_1(6,0,2) \)
• \( C_1(0,8,2) \)

---

Шаг 3: Определение точек сечения

• \( M \) — середина \( BC \):

\[ M = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{8 + 0}{2}, 0 \right) = (3, 4, 0) \]

(Проверьте: середина \( BC \) — это точки \( B(6,0,0) \), \( C(0,8,0) \)).

• \( N \) — середина \( B B_1 \):

\[ N = \left( \frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (6, 0, 1) \]

• \( P \) — середина \( A_1 B_1 \):

\[ P = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) = (3, 0, 2) \]

---

Шаг 4: Построение сечения

Левая часть — точки \( M(3, 4, 0) \), \( N(6, 0, 1) \), \( P(3, 0, 2) \):

Нам нужно найти площадь треугольника \( MNP \).

Шаг 5: Векторное исчисление

Найдем векторы:

\[ \vec{MN} = N - M = (6 - 3, 0 - 4, 1 - 0) = (3, -4, 1) \] \[ \vec{MP} = P - M = (3 - 3, 0 - 4, 2 - 0) = (0, -4, 2) \]

Площадь треугольника \( MNP \):

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{MN} \times \vec{MP}| \]

Вычислим векторное произведение:

\[ \vec{MN} \times \vec{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 0 & -4 & 2 \end{vmatrix} \]

По формуле расширенной determinant:

\[ = \mathbf{i}((-4) \times 2 - 1 \times (-4)) - \mathbf{j}(3 \times 2 - 1 \times 0) + \mathbf{k}(3 \times (-4) - (-4) \times 0) \]

Рассчитаем компоненты:

• Компонента \( \mathbf{i} \):

\[ (-4) \times 2 - 1 \times (-4) = -8 + 4 = -4 \]

• Компонента \( \mathbf{j} \):

\[ 3 \times 2 - 1 \times 0 = 6 - 0 = 6 \] Обратите внимание: знак перед ним минус.

• Компонента \( \mathbf{k} \):

\[ 3 \times (-4) - (-4) \times 0 = -12 - 0 = -12 \]

Итак,

\[ \vec{MN} \times \vec{MP} = (-4, -6, -12) \]

Нахождение модуля:

\[ |\vec{MN} \times \vec{MP}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14 \]

Итоговая площадь:

\[ S = \frac{1}{2} \times 14 = 7 \]

---

Ответ:

Площадь сечения, проходящего через середины указанных ребер, равна \(\boxed{7}\).