Найдите значение выражения (введите в ответ только последнее полученное значение): 8 , 8 ( 71 ) + 71/ 330 ответ в смешанной дроби :
Рассмотрим данное выражение:
\[ 8,8(71) + \frac{71}{330} \]
Здесь, скорее всего, имеется в виду десятичная запятая, то есть число 8,8 (в русском формате — 8.8), а скобки означают, что число 71 повторяется в десятичной дроби, то есть число 8,8(71).
Объясню подробно:
Шаг 1: Понять число 8,8(71)
Число 8,8(71) — это десятичная дробь, у которой после запятой есть повторяющаяся часть 71.
Это число можно записать как:
\[ x = 8,8\overline{71} \]
Шаг 2: Преобразовать число с повторами в обычную дробь
Обозначим:
\[ x = 8,8\overline{71} \]
Пусть \( x \) — это искомое число.
Чтобы избавиться от повторяющейся части, рассмотрим разность:
Умножим \( x \) на 1000 (поскольку длина повторяющейся части — 2 цифры):
\[ 1000x = 8888,\overline{71} \]Умножим \( x \) на 100 (чтобы "срезать" повторяющуюся часть):
\[ 100x = 888,\overline{71} \]
Теперь, вычитаем:
\[ 1000x - 100x = 8888,\overline{71} - 888,\overline{71} \]
Это равно:
\[ 900x = 8888,\overline{71} - 888,\overline{71} \]
Разность — это число без повторяющейся части:
\[ 8888,\overline{71} - 888,\overline{71} = (8888, \overline{71}) - (888, \overline{71}) = 8888, \overline{71} - 888, \overline{71} = 8000 \]
Поскольку остальные части после запятой сократились, разность равна 8000.
Значит:
\[ 900x = 8000 \]
Отсюда:
\[ x = \frac{8000}{900} = \frac{8000}{900} \]
Упростим дробь:
\[ \frac{8000}{900} = \frac{8000 ÷ 100}{900 ÷ 100} = \frac{80}{9} \]
Следовательно:
\[ x = \frac{80}{9} \]
То есть число 8,8(71) равно \(\frac{80}{9}\).
Шаг 3: Теперь подставим это значение в исходное выражение
Итак, выражение:
\[ 8,8(71) + \frac{71}{330} \]
Заменим \( 8,8(71) \) на \(\frac{80}{9}\):
\[ \frac{80}{9} + \frac{71}{330} \]
Шаг 4: Найдём сумму двух дробей
Для сложения дробей нужны общий знаменатель:
- Находим НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей 9 и 330.
Факторизация:
\[ 9 = 3^2 \]
\[ 330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11 \]
Общий знаменатель — это произведение всех простых множителей с максимально необходимыми степенями:
\[ \text{НОК} = 2 \times 3^2 \times 5 \times 11 = 2 \times 9 \times 5 \times 11 \]
Вычислим:
\[ 2 \times 9 = 18 \]
\[ 18 \times 5 = 90 \]
\[ 90 \times 11 = 990 \]
Вот и общий знаменатель: 990.
Шаг 5: Приведем дроби к общему знаменателю
- Для \(\frac{80}{9}\):
\[ \frac{80}{9} = \frac{80 \times 110}{9 \times 110} = \frac{8800}{990} \]
- Для \(\frac{71}{330}\):
\[ \frac{71}{330} = \frac{71 \times 3}{330 \times 3} = \frac{213}{990} \]
Шаг 6: Складываем дроби
\[ \frac{8800}{990} + \frac{213}{990} = \frac{8800 + 213}{990} = \frac{9013}{990} \]
Итог: значение выражения — это смешанная дробь
Делим числитель на знаменатель:
\[ 9013 \div 990 \]
- 990 умещается в 9013 примерно 9 раз (так как \( 9 \times 990 = 8910 \)).
Остаток:
\[ 9013 - 8910 = 103 \]
Значит,
\[ \frac{9013}{990} = 9 + \frac{103}{990} \]
Самое простое — оставить в виде смешанной дроби:
Ответ: \(\boxed{9 \frac{103}{990}}\)
Если нужно в виде неправильной дроби — это \(\frac{9013}{990}\), а в смешанном виде — 9 103/990.
Поскольку в условии указано "в ответ в смешанной дроби", итог — 9 103/990.
