С какой длиной волны следует направить свет на поверхность цезия, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была 1800 км/с? Красная граница фотоэффекта для цезия равна 890нм.
Давайте подробно разберем задачу по шагам.
Дано:
- Максимальная скорость фототоков (скорость фотоэлектронов), \(v_{max} = 1800\, \text{км/с}\)
- Красная граница фотоэффекта для цезия, \(\lambda_{крас} = 890\, \mathrm{нм}\)
Требуется определить:
- Длину волны света, при которой максимальная скорость фотоэлектронов достигнет 1800 км/с.
Шаг 1: Перевести скорость фотоэлектронов в м/с
\[ v_{max} = 1800\, \text{км/с} = 1800 \times 10^3\, \text{м/с} = 1,8 \times 10^6\, \text{м/с} \]
Шаг 2: Использовать уравнение фотоэффекта
Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов:
\[ K_{max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 \]
Где:
- \(m\) — масса электрона \(\approx 9,11 \times 10^{-31}\, \ кг\),
- \(v_{max}\)— найденная выше.
Подставляем значения:
\[ K_{max} = \frac{1}{2} \times 9,11 \times 10^{-31} \times (1,8 \times 10^6)^2 \]
Вычислим:
\[ (1,8 \times 10^6)^2 = 3,24 \times 10^{12} \]
Тогда:
\[ K_{max} = 0,5 \times 9,11 \times 10^{-31} \times 3,24 \times 10^{12} \]
\[ K_{max} = 0,5 \times 9,11 \times 3,24 \times 10^{-31 + 12} \]
\[ K_{max} = 0,5 \times 29,54 \times 10^{-19} = 14,77 \times 10^{-19}\, \text{Дж} \]
или
\[ K_{max} \approx 1,477 \times 10^{-18}\, \text{Дж} \]
Шаг 3: Определить энергию фотона
По уравнению фотоэффекта:
\[ E_{фотона} = \phi + K_{max} \]
где \(\phi\) — work function (работа выхода электрона) цезия.
Из условия, что при красной границе фотоэффекта (длина волны \(\lambda_{крас} = 890\, \mathrm{нм}\)), энергия фотона равна работе выхода:
\[ E_{крас} = \frac{hc}{\lambda_{крас}} \]
где:
- \(h = 6,626 \times 10^{-34}\, \ \mathrm Js\),
- \(c = 3 \times 10^8\, \text{м/с}\),
- \(\lambda_{крас} = 890\, \mathrm{нм} = 890 \times 10^{-9}\, \text{м}\).
Вычислим энергию:
\[ E_{крас} = \frac{6,626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{890 \times 10^{-9}} \]
\[ E_{крас} = \frac{1,9878 \times 10^{-25}}{8,9 \times 10^{-7}} \approx 2,234 \times 10^{-19}\, \text{Дж} \]
Это энергия порогового фотона, равная работе выхода:
\[ \phi \approx 2,234 \times 10^{-19}\, \text{Дж} \]
Шаг 4: Рассчитать энергию фотона, соответствующего максимальной скорости фотоэлектронов
Теперь:
\[ E_{фотона} = \phi + K_{max} \approx 2,234 \times 10^{-19} + 1,477 \times 10^{-18} \]
Объединим:
\[ E_{фотона} \approx 2,234 \times 10^{-19} + 14,77 \times 10^{-19} = 17,004 \times 10^{-19}\, \text{Дж} \]
или
\[ E_{фотона} \approx 1,7004 \times 10^{-18}\, \text{Дж} \]
Шаг 5: Определить длину волны для этого фотона
Используем:
\[ \lambda = \frac{hc}{E} \]
Подставляем:
\[ \lambda = \frac{6,626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{1,7004 \times 10^{-18}} \]
\[ \lambda = \frac{1,9878 \times 10^{-25}}{1,7004 \times 10^{-18}} \approx 1,169 \times 10^{-7}\, \text{м} \]
Переводим в нанометры:
\[ \lambda \approx 116.9\, \text{нм} \]
Ответ:
Длину волны светового излучения, при которой максимальная скорость фотоэлектронов составляет 1800 км/с, примерно 116.9 нм.
Это ультрафиолетовое излучение, более короткое, чем длина волны красной границы цезия (890 нм).
