Рассмотрим задачу пошагово.
Дано:
- Радиус диска: ( R = 10, \text{см} )
- Закон углового перемещения: ( \varphi(t) = 2 + t^3 ) радиан
- Время: ( t = 3, \textс )
Нам нужно найти касательное ускорение точки ( A ) в момент времени ( t = 3, \textс ).
Шаг 1. Найти угловую скорость ( \omega(t) )
Угловая скорость — это первая производная угла ( \varphi(t) ):
[
\omega(t) = \frac{d\varphi}{dt}
]
Подставим ( \varphi(t) ):
[
\omega(t) = \frac{d}{dt} (2 + t^3) = 0 + 3t^2 = 3t^2
]
В момент ( t = 3, \textс ):
[
\omega(3) = 3 \times (3)^2 = 3 \times 9 = 27 \text{ рад/с}
]
Шаг 2. Найти угловое ускорение ( \alpha(t) )
Это вторая производная ( \varphi(t) ):
[
\alpha(t) = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt} (3t^2) = 6t
]
В момент ( t = 3, \textс ):
[
\alpha(3) = 6 \times 3 = 18, \text{рад/с}^2
]
Шаг 3. Определить касательное ускорение ( a_{\text{кас}} )
Касательное ускорение точки на окружности — это:
[
a_{\text{кас}} = R \times \alpha
]
Величина R = 10 см = 0.1 м (переведем в метры, чтобы получить ответ в см/с², лучше оставить в см и добавить единицы, или оставить в м и затем перевести).
Но так как в вариантах ответов указаны см/с², лучше оставить R в см — R=10 см.
[
a_{\text{кас}} = R \times \alpha = 10, \text{см} \times 18, \text{рад/с}^2 = 180, \text{см/с}^2
]
Ответ: 180 см/с²
Это соответствует варианту 2.
Итог:
[
\boxed{
\text{Касательное ускорение} = 180, \text{см/с}^2
}
]
Если нужно, я могу объяснить подробнее любой шаг!
