решим уровнение: а) х+3/х=2х+10/х-3 б) х-2/х+1+х+1/х-2=4 1/4
Конечно! Давайте подробно решим каждое уравнение, объясняя все шаги.
Задача а) Решить уравнение:
\[ \frac{x + 3}{x} = \frac{2x + 10}{x - 3} \]
Шаг 1: Проанализируем уравнение
Уравнение содержит дроби, в которых есть переменная \(x\). Нужно избавляться от дробей, чтобы решить уравнение более удобно.
Шаг 2: Найдём общий знаменатель
Общий знаменатель — это произведение \(x\) и \((x - 3)\). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель:
\[ x \cdot (x - 3) \]
Шаг 3: Умножим обе части на \(x(x - 3)\):
\[ \left(\frac{x + 3}{x}\right) \cdot x(x - 3) = \left(\frac{2x + 10}{x - 3}\right) \cdot x(x - 3) \]
Это даёт:
\[ (x + 3)(x - 3) = (2x + 10) \cdot x \]
Шаг 4: Раскроем скобки
Левая часть — разность квадратов:
\[ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 \]
Правая часть:
\[ (2x + 10) \cdot x = 2x^2 + 10x \]
Шаг 5: Запишем полученное уравнение:
\[ x^2 - 9 = 2x^2 + 10x \]
Шаг 6: Всё перенесём в левую сторону:
\[ x^2 - 9 - 2x^2 - 10x = 0 \]
Объединим подобные — \(x^2\) и \(-2x^2\):
\[ - x^2 - 10x - 9 = 0 \]
или умножим уравнение на \(-1\), чтобы упростить:
\[ x^2 + 10x + 9 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
\[ x^2 + 10x + 9 = 0 \]
Шаг 7: Используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \]
Шаг 8: Находим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-10 \pm 8}{2} \]
Это даёт два решения:
- \(x_1 = \frac{-10 + 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
- \(x_2 = \frac{-10 - 8}{2} = \frac{-18}{2} = -9\)
Шаг 9: Проверка на исключения
Подставим найденные значения в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они не обнуляют знаменатель.
- Для \(x = -1\):
Знаменатели: \(x = -1\), \(x - 3 = -4\). Всё в порядке, ничего не равно нулю.
- Для \(x = -9\):
Знаменатели: \(x = -9\), \(x - 3 = -12\). Всё хорошо.
Ответ:
\[ \boxed{ x = -1 \quad \text{или} \quad x = -9 } \]
Задача б) Решить уравнение:
\[ \frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = 4 \frac{1}{4} \]
или в виде смешанного числа: \(4 \frac{1}{4} = \frac{17}{4}\).
Шаг 1: Запишем уравнение:
\[ \frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{17}{4} \]
Шаг 2: Обозначим и упростим
Поскольку уравнение содержит дроби, лучше привести левую часть к общему знаменателю.
Общий знаменатель:
\[ (x + 1)(x - 2) \]
Шаг 3: Приведем левую часть к общему знаменателю:
Пересчитаем каждую дробь:
\[ \frac{(x - 2) \cdot (x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} + \frac{(x + 1) \cdot (x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \]
То есть:
\[ \frac{(x - 2)^2 + (x + 1)^2}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \]
Шаг 4: Раскроем скобки:
\[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]
\[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]
Объединим числитель:
\[ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 2x + 5 \]
Это отношение равно \(\frac{17}{4}\):
\[ \frac{2x^2 - 2x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \]
Шаг 5: Умножим обе части на знаменатель \((x + 1)(x - 2)\) и 4:
\[ 4(2x^2 - 2x + 5) = 17(x + 1)(x - 2) \]
Раскроем:
Левое:
\[ 8x^2 - 8x + 20 \]
Правое:
\[ 17(x^2 - 2x + x - 2) = 17(x^2 - x - 2) \]
Раскроем скобки:
\[ 17x^2 - 17x - 34 \]
Шаг 6: Перенесем всё в одну сторону:
\[ 8x^2 - 8x + 20 - 17x^2 + 17x + 34 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ (8x^2 - 17x^2) + (-8x + 17x) + (20 + 34) = 0 \]
\[ -9x^2 + 9x + 54 = 0 \]
Можно разделить всё уравнение на \(-9\), чтобы упростить:
\[ x^2 - x - 6 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
\[ x^2 - x - 6 = 0 \]
Дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \]
- \(x_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
- \(x_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
Шаг 7: Проверка исключений
Обратим внимание на знаменатели исходного уравнения: \((x + 1)\) и \((x - 2)\).
- Для \(x=3\): знаменатели в исходном уравнении: \(x+1 = 4\), \(x-2=1\) — всё нормально.
- Для \(x=-2\): знаменатели: \(-2+1 = -1 \neq 0\), \(-2-2=-4 \neq 0\) — всё хорошо.
Ответ:
\[ \boxed{ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -2 } \]
Если нужна дополнительная помощь или есть вопросы — обращайтесь!
