Решим уровнение: а) х+3/х=2х+10/х-3 б) х-2/х+1+х+1/х-2=4 1/4

Конечно! Давайте подробно решим каждое уравнение, объясняя все шаги. --- ### Задача а) Решить уравнение: \[ \frac{x + 3}{x} = \frac{2x + 10}{x - 3} \] **Шаг 1: Проанализируем уравнение** Уравнение содержит дроби, в которых есть переменная \(x\). Нужно избавляться от дробей, чтобы решить уравнение более удобно. **Шаг 2: Найдём общий знаменатель** Общий знаменатель — это произведение \(x\) и \((x - 3)\). Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель: \[ x \cdot (x - 3) \] **Шаг 3: Умножим обе части на \(x(x - 3)\):** \[ \left(\frac{x + 3}{x}\right) \cdot x(x - 3) = \left(\frac{2x + 10}{x - 3}\right) \cdot x(x - 3) \] Это даёт: \[ (x + 3)(x - 3) = (2x + 10) \cdot x \] **Шаг 4: Раскроем скобки** Левая часть — разность квадратов: \[ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 \] Правая часть: \[ (2x + 10) \cdot x = 2x^2 + 10x \] **Шаг 5: Запишем полученное уравнение:** \[ x^2 - 9 = 2x^2 + 10x \] **Шаг 6: Всё перенесём в левую сторону:** \[ x^2 - 9 - 2x^2 - 10x = 0 \] Объединим подобные — \(x^2\) и \(-2x^2\): \[ - x^2 - 10x - 9 = 0 \] или умножим уравнение на \(-1\), чтобы упростить: \[ x^2 + 10x + 9 = 0 \] --- ### Решение квадратного уравнения: \[ x^2 + 10x + 9 = 0 \] **Шаг 7: Используем дискриминант:** \[ D = b^2 - 4ac = (10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \] **Шаг 8: Находим корни:** \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-10 \pm 8}{2} \] Это даёт два решения: - \(x_1 = \frac{-10 + 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) - \(x_2 = \frac{-10 - 8}{2} = \frac{-18}{2} = -9\) **Шаг 9: Проверка на исключения** Подставим найденные значения в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они не обнуляют знаменатель. - Для \(x = -1\): Знаменатели: \(x = -1\), \(x - 3 = -4\). Всё в порядке, ничего не равно нулю. - Для \(x = -9\): Знаменатели: \(x = -9\), \(x - 3 = -12\). Всё хорошо. **Ответ:** \[ \boxed{ x = -1 \quad \text{или} \quad x = -9 } \] --- ### Задача б) Решить уравнение: \[ \frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = 4 \frac{1}{4} \] или в виде смешанного числа: \(4 \frac{1}{4} = \frac{17}{4}\). **Шаг 1: Запишем уравнение:** \[ \frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{17}{4} \] **Шаг 2: Обозначим и упростим** Поскольку уравнение содержит дроби, лучше привести левую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель: \[ (x + 1)(x - 2) \] **Шаг 3: Приведем левую часть к общему знаменателю:** Пересчитаем каждую дробь: \[ \frac{(x - 2) \cdot (x - 2)}{(x + 1)(x - 2)} + \frac{(x + 1) \cdot (x + 1)}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \] То есть: \[ \frac{(x - 2)^2 + (x + 1)^2}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \] **Шаг 4: Раскроем скобки:** \[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \] \[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] Объединим числитель: \[ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 2x + 5 \] Это отношение равно \(\frac{17}{4}\): \[ \frac{2x^2 - 2x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4} \] **Шаг 5: Умножим обе части на знаменатель \((x + 1)(x - 2)\) и 4:** \[ 4(2x^2 - 2x + 5) = 17(x + 1)(x - 2) \] Раскроем: Левое: \[ 8x^2 - 8x + 20 \] Правое: \[ 17(x^2 - 2x + x - 2) = 17(x^2 - x - 2) \] Раскроем скобки: \[ 17x^2 - 17x - 34 \] **Шаг 6: Перенесем всё в одну сторону:** \[ 8x^2 - 8x + 20 - 17x^2 + 17x + 34 = 0 \] Объединим подобные: \[ (8x^2 - 17x^2) + (-8x + 17x) + (20 + 34) = 0 \] \[ -9x^2 + 9x + 54 = 0 \] Можно разделить всё уравнение на \(-9\), чтобы упростить: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] --- ### Решение квадратного уравнения: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \] - \(x_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\) - \(x_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) **Шаг 7: Проверка исключений** Обратим внимание на знаменатели исходного уравнения: \((x + 1)\) и \((x - 2)\). - Для \(x=3\): знаменатели в исходном уравнении: \(x+1 = 4\), \(x-2=1\) — всё нормально. - Для \(x=-2\): знаменатели: \(-2+1 = -1 \neq 0\), \(-2-2=-4 \neq 0\) — всё хорошо. **Ответ:** \[ \boxed{ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -2 } \] --- Если нужна дополнительная помощь или есть вопросы — обращайтесь!