3. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. . M- середина ребра DD1 а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данную точку М. б) Определите взаимное положение прямых B1M и AD. в) Найдите площадь поверхности призмы АВD A1B1D1. г) Найдите тангенс угла наклона прямой B1M к плоскости DD1CC1.

Давайте решим эти задания по порядку и подробно объясним каждый шаг. --- ### Задача: Дана куб \( ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 \). М — середина ребра \( DD_1 \). --- ### а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и точку М **Общее описание:** - Куб — это призма с шестью квадратными гранями. - В пространстве его можно представить так: - Нижняя грань \( ABCD \) — это квадрат, лежащий в некоторой плоскости. - Верхняя грань \( A_1 B_1 C_1 D_1 \) — параллельна нижней и расположена выше. **Ключевые положения:** - Ребра \( DD_1 \) — вертикальные ребра, соединяющие каждую вершину нижней грани с соответствующей вершиной верхней. - Точка \( M \) — середина ребра \( DD_1 \). Следовательно, она находится посередине вертикальной линии, соединяющей \( D \) (в нижней грани) и \( D_1 \) (в верхней). *Чертеж:* - Нарисуйте куб с горизонтальными и вертикальными линиями. - Обозначьте вершины. - Проведите ребро \( DD_1 \) вертикально вверх. - Найдите середину этого ребра и отметьте точку \( M \). --- ### б) Определите взаимное положение прямых \( B_1 M \) и \( AD \). **Анализ:** - \( B_1 M \): — Точка \( B_1 \) — вершина верхней грани. — Точка \( M \) — середина \( DD_1 \). - \( AD \): — Это одно из оснований куба, соединяет вершины \( A \) и \( D \). **Что нужно определить?** - По взаимному положению: параллельны, пересекаются, перпендикулярны, или skew (скрещенные, непересекающиеся и не параллельные прямые). **План решения:** - Отметить координаты вершин (можно выбрать систему координат, для упрощения). - Проверить, пересекаются ли прямые \( B_1 M \) и \( AD \): — Если есть общая точка — пересекаются. — Если не пересекаются и не параллельны — скрещенные. **Пример:** - Пусть \( A(0,0,0) \), \( D(1,0,0) \), \( B_1(0,1,1) \), \( D_1(1,0,1) \), Тогда: - \( D(1,0,0) \), - \( D_1(1,0,1) \), - \( M \)— середина \( D D_1 \) — \( (1,0,0.5) \), - \( B_1 \) — \( (0,1,1) \). - Прямая \( B_1 M \): — Параметризация: \( x = 0 + t (1-0) = t \), — \( y = 1 + t (0-1) = 1 - t \), — \( z = 1 + t (0.5-1) = 1 - 0.5 t \). - Прямая \( A D \): — Через \( A(0,0,0) \) и \( D(1,0,0) \), — Параметризация: \( x = s \), \( y=0 \), \( z=0 \). **Проверка:** - Где \( y=1 - t \) равно нулю? Тогда \( t=1 \). - Подставим \( t=1 \): — \( x=1 \), \( y=0 \), \( z=1 - 0.5*1=0.5 \). — Не совпадает с точки \( A(0,0,0) \) и \( D(1,0,0) \), значит, прямые не пересекаются. - Они не параллельны — ибо у них разные направления. **Вывод:** - Прямые не пересекаются, не параллельны — они скрещиваются (скрещенные). --- ### в) Найдите площадь поверхности призмы \( A B D A_1 B_1 D_1 \) Призма — это три параллельных основания (в данном случае — квадрат) и боковые грани. При этом основание — квадрат \( ABD \). **Найдем площадь:** 1. **Площадь основания \( ABD \):** - \( A(0,0,0) \), - \( D(1,0,0) \), - \( B(0,1,0) \). — \( S_{осн} = \text{длина } AB \times \text{длина } AD \). — \( AB = 1 \), — \( AD = 1 \). — Площадь квадрата: \( 1 \times 1 = 1 \). 2. **Площадь верхнего основания \( A_1 B_1 D_1 \):** — Также квадрат со стороной 1, площадь — 1. 3. **Боковые грани:** - Какая у них площадь? — Каждая боковая грань — прямоугольник. — Например, грань \( AB B_1 A_1 \): — \( AB \) — сторона основания = 1. — Высота — расстояние между соответствующими слоями (по оси Z): 1 (или согласно координатам). Площадь каждой боковой грани — тоже равна длине стороны основания умноженной на высоту: 1. Всего 4 боковых грани, каждая — площадь 1. **Итого:** \[ S_{поверхности} = 2 \times S_{осн} + \text{сумма площадей боковых граней} = 2 \times 1 + 4 \times 1 = 2 + 4 = 6. \] --- ### г) Найдите тангенс угла наклона прямой \( B_1 M \) к плоскости \( D D_1 C C_1 \). **Объяснение:** - Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на нормаль к плоскости. - По формуле, \[ \tan \theta = \frac{\text{длина проекции прямой на нормаль}}{\text{длина проекции прямой на плоскьность}}. \] или, проще: - \( \cos \theta \) — косинус угла между прямой и нормалью к плоскости. - Тогда: \[ \text{Тангенс } \theta = \frac{\text{длина проекции прямой на } n}{|\text{прямая}| \times \sin \alpha} \] где \( \alpha \) — угол между прямой и нормалью. **Практическое решение:** 1. Найдём вектор прямой \( B_1 M \). - \( B_1(0,1,1) \), - \( M(1,0,0.5) \). - Вектор \( \vec{B_1 M} = (1-0, 0-1, 0.5-1) = (1, -1, -0.5) \). 2. Нормаль к плоскости \( D D_1 C C_1 \): - Эти точки лежат в горизонтальной плоскости, параллельной XY-плоскости, — как основание куба. - Вектор, перпендикулярный этой плоскости, — это вертикальный вектор \( (0,0,1) \), так как плоскость горизонтальная. 3. Тогда: - \( \cos \theta = \frac{|\vec{B_1 M} \cdot \vec{n}|}{|\vec{B_1 M}| |\vec{n}|} \). - Вектор нормали \( \vec{n} = (0,0,1) \). - Скономк: \[ \vec{B_1 M} \cdot \vec{n} = (1)(0) + (-1)(0) + (-0.5)(1) = -0.5. \] - Длина \( |\vec{B_1 M}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5. \) - Длина \( |\vec{n}|=1 \). 4. Тогда: \[ \cos \theta = \frac{|-0.5|}{1.5 \times 1} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}. \] - Следовательно, \[ \sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}. \] - А тангенс угла: \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2 \sqrt{2}. \] --- ## Итоговые ответы: а) На чертеже изображается куб и точка М — середина ребра \( DD_1 \). б) Прямые \( B_1 M \) и \( AD \) скрещиваются (не пересекаются и не параллельны). в) Площадь поверхности призмы \( AB D A_1 B_1 D_1 \) равна **6**. г) Тангенс угла наклона \( B_1 M \) к плоскости \( DD_1 CC_1 \) равен **\( 2 \sqrt{2} \)**. --- Если нужно, я могу подготовить чертеж или более подробное объяснение по любой части!