3. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. . M- середина ребра DD1 а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данную точку М. б) Определите взаимное положение прямых B1M и AD. в)…
3. Рассматривается куб АВСDA1B1C1D1. . M- середина ребра DD1 а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и данную точку М. б) Определите взаимное положение прямых B1M и AD. в) Найдите площадь поверхности призмы АВD A1B1D1. г) Найдите тангенс угла наклона прямой B1M к плоскости DD1CC1.
Давайте решим эти задания по порядку и подробно объясним каждый шаг.
Задача:
Дана куб \( ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 \).
М — середина ребра \( DD_1 \).
а) Изобразите на чертеже рассматриваемый куб и точку М
Общее описание:
- Куб — это призма с шестью квадратными гранями.
- В пространстве его можно представить так:
- Нижняя грань \( ABCD \) — это квадрат, лежащий в некоторой плоскости.
- Верхняя грань \( A_1 B_1 C_1 D_1 \) — параллельна нижней и расположена выше.
Ключевые положения:
- Ребра \( DD_1 \) — вертикальные ребра, соединяющие каждую вершину нижней грани с соответствующей вершиной верхней.
- Точка \( M \) — середина ребра \( DD_1 \).
Следовательно, она находится посередине вертикальной линии, соединяющей \( D \) (в нижней грани) и \( D_1 \) (в верхней).
Чертеж:
- Нарисуйте куб с горизонтальными и вертикальными линиями.
- Обозначьте вершины.
- Проведите ребро \( DD_1 \) вертикально вверх.
- Найдите середину этого ребра и отметьте точку \( M \).
б) Определите взаимное положение прямых \( B_1 M \) и \( AD \).
Анализ:
\( B_1 M \):
— Точка \( B_1 \) — вершина верхней грани.
— Точка \( M \) — середина \( DD_1 \).\( AD \):
— Это одно из оснований куба, соединяет вершины \( A \) и \( D \).
Что нужно определить?
- По взаимному положению: параллельны, пересекаются, перпендикулярны, или skew (скрещенные, непересекающиеся и не параллельные прямые).
План решения:
Отметить координаты вершин (можно выбрать систему координат, для упрощения).
Проверить, пересекаются ли прямые \( B_1 M \) и \( AD \):
— Если есть общая точка — пересекаются.
— Если не пересекаются и не параллельны — скрещенные.
Пример:
Пусть \( A(0,0,0) \),
\( D(1,0,0) \),
\( B_1(0,1,1) \),
\( D_1(1,0,1) \),
Тогда:- \( D(1,0,0) \),
- \( D_1(1,0,1) \),
- \( M \)— середина \( D D_1 \) — \( (1,0,0.5) \),
- \( B_1 \) — \( (0,1,1) \).
Прямая \( B_1 M \):
— Параметризация: \( x = 0 + t (1-0) = t \),
— \( y = 1 + t (0-1) = 1 - t \),
— \( z = 1 + t (0.5-1) = 1 - 0.5 t \).Прямая \( A D \):
— Через \( A(0,0,0) \) и \( D(1,0,0) \),
— Параметризация: \( x = s \), \( y=0 \), \( z=0 \).
Проверка:
Где \( y=1 - t \) равно нулю? Тогда \( t=1 \).
Подставим \( t=1 \):
— \( x=1 \), \( y=0 \), \( z=1 - 0.5*1=0.5 \).
— Не совпадает с точки \( A(0,0,0) \) и \( D(1,0,0) \), значит, прямые не пересекаются.
Они не параллельны — ибо у них разные направления.
Вывод:
- Прямые не пересекаются, не параллельны — они скрещиваются (скрещенные).
в) Найдите площадь поверхности призмы \( A B D A_1 B_1 D_1 \)
Призма — это три параллельных основания (в данном случае — квадрат) и боковые грани.
При этом основание — квадрат \( ABD \).
Найдем площадь:
Площадь основания \( ABD \):
- \( A(0,0,0) \),
- \( D(1,0,0) \),
- \( B(0,1,0) \).
— \( S_{осн} = \text{длина } AB \times \text{длина } AD \).
— \( AB = 1 \),
— \( AD = 1 \).— Площадь квадрата: \( 1 \times 1 = 1 \).
Площадь верхнего основания \( A_1 B_1 D_1 \):
— Также квадрат со стороной 1, площадь — 1.Боковые грани:
Какая у них площадь?
— Каждая боковая грань — прямоугольник.
— Например, грань \( AB B_1 A_1 \):— \( AB \) — сторона основания = 1.
— Высота — расстояние между соответствующими слоями (по оси Z): 1 (или согласно координатам).
Площадь каждой боковой грани — тоже равна длине стороны основания умноженной на высоту: 1.
Всего 4 боковых грани, каждая — площадь 1.
Итого:
\[ S_{поверхности} = 2 \times S_{осн} + \text{сумма площадей боковых граней} = 2 \times 1 + 4 \times 1 = 2 + 4 = 6. \]
г) Найдите тангенс угла наклона прямой \( B_1 M \) к плоскости \( D D_1 C C_1 \).
Объяснение:
Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на нормаль к плоскости.
По формуле,
\[ \tan \theta = \frac{\text{длина проекции прямой на нормаль}}{\text{длина проекции прямой на плоскьность}}. \]
или, проще:
\( \cos \theta \) — косинус угла между прямой и нормалью к плоскости.
Тогда:
\[ \text{Тангенс } \theta = \frac{\text{длина проекции прямой на } n}{|\text{прямая}| \times \sin \alpha} \]
где \( \alpha \) — угол между прямой и нормалью.
Практическое решение:
- Найдём вектор прямой \( B_1 M \).
\( B_1(0,1,1) \),
\( M(1,0,0.5) \).
Вектор \( \vec{B_1 M} = (1-0, 0-1, 0.5-1) = (1, -1, -0.5) \).
- Нормаль к плоскости \( D D_1 C C_1 \):
Эти точки лежат в горизонтальной плоскости, параллельной XY-плоскости, — как основание куба.
Вектор, перпендикулярный этой плоскости, — это вертикальный вектор \( (0,0,1) \), так как плоскость горизонтальная.
- Тогда:
\( \cos \theta = \frac{|\vec{B_1 M} \cdot \vec{n}|}{|\vec{B_1 M}| |\vec{n}|} \).
Вектор нормали \( \vec{n} = (0,0,1) \).
Скономк:
\[ \vec{B_1 M} \cdot \vec{n} = (1)(0) + (-1)(0) + (-0.5)(1) = -0.5. \]
Длина \( |\vec{B_1 M}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5. \)
Длина \( |\vec{n}|=1 \).
- Тогда:
\[ \cos \theta = \frac{|-0.5|}{1.5 \times 1} = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}. \]
- Следовательно,
\[ \sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}. \]
- А тангенс угла:
\[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2 \sqrt{2}. \]
Итоговые ответы:
а) На чертеже изображается куб и точка М — середина ребра \( DD_1 \).
б) Прямые \( B_1 M \) и \( AD \) скрещиваются (не пересекаются и не параллельны).
в) Площадь поверхности призмы \( AB D A_1 B_1 D_1 \) равна 6.
г) Тангенс угла наклона \( B_1 M \) к плоскости \( DD_1 CC_1 \) равен \( 2 \sqrt{2} \).
Если нужно, я могу подготовить чертеж или более подробное объяснение по любой части!
