Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой AB, если A (1; 2; −3), B (4; 8; −6).

Давайте подробно решим задачу по шагам иориентируемся на цель "Понять".

Задача: Нужно найти уравнение плоскости, которая проходит через точку A(1, 2, −3) и перпендикулярна прямой AB, где точки: A(1, 2, −3) и B(4, 8, −6).

Шаг 1: Найдём вектор направления прямой AB

Вектор AB вычисляется по формуле: \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \]

Подставим координаты: \[ \vec{AB} = (4 - 1, 8 - 2, -6 - (-3)) = (3, 6, -3) \]

Шаг 2: Определим параметры плоскости

• Точка A лежит в плоскости. Значит, уравнение плоскости можно представить как:

\[ \text{через точку } A(1, 2, -3) \text{ с нормальным вектором } \vec{n}. \]

• Поскольку плоскость перпендикулярна прямой AB, то ее нормальный вектор \(\vec{n}\) совпадает с вектором направления AB.

Следовательно:

\[ \vec{n} = \vec{AB} = (3, 6, -3) \]

Шаг 3: Запишем уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором \(\vec{n} = (A, B, C)\) и проходящей через точку \(A(x_0, y_0, z_0)\): \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

Подставляем для нашей плоскости: \[ 3(x - 1) + 6(y - 2) - 3(z + 3) = 0 \]

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим

Раскроем скобки: \[ 3x - 3 + 6y - 12 - 3z - 9 = 0 \]

Объединим подобные: \[ 3x + 6y - 3z - (3 + 12 + 9) = 0 \] \[ 3x + 6y - 3z - 24 = 0 \]

Итоговое уравнение плоскости:

\[ \boxed{ 3x + 6y - 3z = 24 } \]

Можно упростить, разделив все коэффициенты на 3:

\[ x + 2y - z = 8 \]

Ответ:

Уравнение искомой плоскости:

\[ \boxed{ x + 2y - z = 8 } \]

Если есть вопросы по объяснениям или нужно что-то еще — пишите!