Давайте подробно решим задачу по шагам иориентируемся на цель "Понять".
Задача: Нужно найти уравнение плоскости, которая проходит через точку A(1, 2, −3) и перпендикулярна прямой AB, где точки: A(1, 2, −3) и B(4, 8, −6).
Шаг 1: Найдём вектор направления прямой AB
Вектор AB вычисляется по формуле:
[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}
]
Подставим координаты:
[
\vec{AB} = (4 - 1, 8 - 2, -6 - (-3)) = (3, 6, -3)
]
Шаг 2: Определим параметры плоскости
- Точка A лежит в плоскости. Значит, уравнение плоскости можно представить как:
[
\text{через точку } A(1, 2, -3) \text{ с нормальным вектором } \vec{n}.
]
- Поскольку плоскость перпендикулярна прямой AB, то ее нормальный вектор (\vec{n}) совпадает с вектором направления AB.
Следовательно:
[
\vec{n} = \vec{AB} = (3, 6, -3)
]
Шаг 3: Запишем уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости с нормальным вектором (\vec{n} = (A, B, C)) и проходящей через точку (A(x_0, y_0, z_0)):
[
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
]
Подставляем для нашей плоскости:
[
3(x - 1) + 6(y - 2) - 3(z + 3) = 0
]
Шаг 4: Раскроем скобки и упростим
Раскроем скобки:
[
3x - 3 + 6y - 12 - 3z - 9 = 0
]
Объединим подобные:
[
3x + 6y - 3z - (3 + 12 + 9) = 0
]
[
3x + 6y - 3z - 24 = 0
]
Итоговое уравнение плоскости:
[
\boxed{
3x + 6y - 3z = 24
}
]
Можно упростить, разделив все коэффициенты на 3:
[
x + 2y - z = 8
]
Ответ:
Уравнение искомой плоскости:
[
\boxed{
x + 2y - z = 8
}
]
Если есть вопросы по объяснениям или нужно что-то еще — пишите!
