Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, можно ли с заданной вероятностью утверждать, что доля студентов с неудовлетворительными знаниями не превышает 9%.
Шаг 1. Определение исходных данных
- Объем выборки: ( n = 186 )
- Количество студентов с неудовлетворительными результатами: ( x = 4 )
- Доля в выборке: ( \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{4}{186} \approx 0.0215 ) (около 2,15%)
- Общий контингент студентов: не указан явно, но известно, что выборка составляет 5% от общего числа ( N ).
Нам важна проверка гипотезы:
[
H_0: p \leq 0,09 \quad \text{(доля студентов с неудовлетворительными знаниями не превышает 9%)}
]
и противная гипотеза
[
H_1: p > 0,09
]
Шаг 2. Рассмотрение метода оценки
Для оценки доли используют интервал доверия для пропорции ( p ). Чтобы проверить, можно ли с вероятностью 0,954 (это примерно 95,4% уровень доверия) сделать вывод о том, что истинная доля не превышает 9%, построим односторонний верхний доверительный интервал для пропорции по выборочным данным.
Шаг 3. Построение доверительного интервала для пропорции
Для большой выборки можно применить приближение к нормальному распределению (метод Уилсона или классический метод). Используем классический 95% доверительный интервал для пропорции:
[
\hat{p} \pm z_{\alpha} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
]
где ( z_{\alpha} ) — квантиль стандартного нормального распределения для уровня значимости ( \alpha = 1 - 0,954 = 0,046 ). Для 95,4% уровня доверия ( z_{0,048} \approx 1,7 ).
Но тут важен именно односторонний интервал, чтобы проверить верхнюю границу.
Шаг 4. Расчет верхней границы доверительного интервала
Поскольку мы хотим узнать, не превышает ли реальная доля 9% с вероятностью 95,4%, построим верхнюю границу интервала:
[
p_{\text{upper}} = \hat{p} + z_{0,022} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
]
где ( z_{0,022} ) — квантиль для ( 1 - 0,048 = 0,952 ), что равно примерно 1,7.
Подставим значения:
[
p_{\text{upper}} = 0.0215 + 1.7 \times \sqrt{\frac{0.0215 \times (1 - 0.0215)}{186}}
]
Посчитаем дисперсию:
[
0.0215 \times (1 - 0.0215) \approx 0.0215 \times 0.9785 \approx 0.0210
]
Теперь делим на ( n = 186 ):
[
\frac{0.0210}{186} \approx 0.000113
]
Берем корень:
[
\sqrt{0.000113} \approx 0.0106
]
Теперь умножаем на ( z_{0,022} \approx 1,7 ):
[
1.7 \times 0.0106 \approx 0.0180
]
Следовательно, верхняя граница:
[
p_{\text{upper}} \approx 0.0215 + 0.0180 = 0.0395
]
Шаг 5. Анализ результата
Объем выборки и полученные данные показывают, что верхняя граница 95% доверительного интервала — примерно 3,95%. Это значительно ниже 9%, что означает, что с вероятностью около 95,4% мы можем утверждать, что истинная доля неудовлетворительных студентов в целом по вузу не превышает 9%.
Итог:
Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля студентов с неудовлетворительными знаниями не превышает 9%?
Ответ: да, судя по статистическому анализу, поскольку оценочный верхний доверительный интервал для доли неудовлетворительных студентов составляет примерно 3,95%, что меньше 9%. Следовательно, есть высокая вероятность (более 95%) того, что реальная доля не превышает 9%.
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее — спрашивайте!
