Для выборочного контролязнаний студентов в порядке собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано и протестировано 186 чел.,что составило 5% от общего контингента…

Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, можно ли с заданной вероятностью утверждать, что доля студентов с неудовлетворительными знаниями не превышает 9%.

Шаг 1. Определение исходных данных

• Объем выборки: \( n = 186 \)
• Количество студентов с неудовлетворительными результатами: \( x = 4 \)
• Доля в выборке: \( \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{4}{186} \approx 0.0215 \) (около 2,15%)
• Общий контингент студентов: не указан явно, но известно, что выборка составляет 5% от общего числа \( N \).

Нам важна проверка гипотезы:

\[ H_0: p \leq 0,09 \quad \text{(доля студентов с неудовлетворительными знаниями не превышает 9%)} \]

и противная гипотеза

\[ H_1: p > 0,09 \]

Шаг 2. Рассмотрение метода оценки

Для оценки доли используют интервал доверия для пропорции \( p \). Чтобы проверить, можно ли с вероятностью 0,954 (это примерно 95,4% уровень доверия) сделать вывод о том, что истинная доля не превышает 9%, построим односторонний верхний доверительный интервал для пропорции по выборочным данным.

Шаг 3. Построение доверительного интервала для пропорции

Для большой выборки можно применить приближение к нормальному распределению (метод Уилсона или классический метод). Используем классический 95% доверительный интервал для пропорции:

\[ \hat{p} \pm z_{\alpha} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]

где \( z_{\alpha} \) — квантиль стандартного нормального распределения для уровня значимости \( \alpha = 1 - 0,954 = 0,046 \). Для 95,4% уровня доверия \( z_{0,048} \approx 1,7 \).

Но тут важен именно односторонний интервал, чтобы проверить верхнюю границу.

Шаг 4. Расчет верхней границы доверительного интервала

Поскольку мы хотим узнать, не превышает ли реальная доля 9% с вероятностью 95,4%, построим верхнюю границу интервала:

\[ p_{\text{upper}} = \hat{p} + z_{0,022} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]

где \( z_{0,022} \) — квантиль для \( 1 - 0,048 = 0,952 \), что равно примерно 1,7.

Подставим значения:

\[ p_{\text{upper}} = 0.0215 + 1.7 \times \sqrt{\frac{0.0215 \times (1 - 0.0215)}{186}} \]

Посчитаем дисперсию:

\[ 0.0215 \times (1 - 0.0215) \approx 0.0215 \times 0.9785 \approx 0.0210 \]

Теперь делим на \( n = 186 \):

\[ \frac{0.0210}{186} \approx 0.000113 \]

Берем корень:

\[ \sqrt{0.000113} \approx 0.0106 \]

Теперь умножаем на \( z_{0,022} \approx 1,7 \):

\[ 1.7 \times 0.0106 \approx 0.0180 \]

Следовательно, верхняя граница:

\[ p_{\text{upper}} \approx 0.0215 + 0.0180 = 0.0395 \]

Шаг 5. Анализ результата

Объем выборки и полученные данные показывают, что верхняя граница 95% доверительного интервала — примерно 3,95%. Это значительно ниже 9%, что означает, что с вероятностью около 95,4% мы можем утверждать, что истинная доля неудовлетворительных студентов в целом по вузу не превышает 9%.

Итог:

Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля студентов с неудовлетворительными знаниями не превышает 9%?

Ответ: да, судя по статистическому анализу, поскольку оценочный верхний доверительный интервал для доли неудовлетворительных студентов составляет примерно 3,95%, что меньше 9%. Следовательно, есть высокая вероятность (более 95%) того, что реальная доля не превышает 9%.

Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее — спрашивайте!