Давайте рассмотрим задачу и решим её по шагам, используя метод наименьших квадратов для нахождения линейной функции y = ax + b.
Шаг 1. Запишем исходные данные
Из таблицы:
| x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| y |
3.6 |
4.6 |
3.1 |
1.1 |
1.6 |
Шаг 2. Найдём необходимые суммы для вычислений
Для метода наименьших квадратов нужно найти:
- сумма всех x: ( S_x = \sum x )
- сумма всех y: ( S_y = \sum y )
- сумма всех x²: ( S_{x^2} = \sum x^2 )
- сумма всех xy: ( S_{xy} = \sum xy )
- число наблюдений: ( n )
Рассчитаем:
[
S_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
]
[
S_y = 3.6 + 4.6 + 3.1 + 1.1 + 1.6 = 13.9
]
[
S_{x^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
]
[
S_{xy} = (1)(3.6) + (2)(4.6) + (3)(3.1) + (4)(1.1) + (5)(1.6)
]
[
= 3.6 + 9.2 + 9.3 + 4.4 + 8.0 = 34.5
]
Количество точек: ( n=5 ).
Шаг 3. Найдём коэффициенты a и b
Формулы для линейной регрессии:
[
a = \frac{nS_{xy} - S_x S_y}{nS_{x^2} - (S_x)^2}
]
[
b = \frac{S_y - a S_x}{n}
]
Подставляем значения:
[
a = \frac{5 \times 34.5 - 15 \times 13.9}{5 \times 55 - 15^2} = \frac{172.5 - 208.5}{275 - 225} = \frac{-36}{50} = -0.72
]
Теперь найдём b:
[
b = \frac{13.9 - (-0.72) \times 15}{5} = \frac{13.9 + 10.8}{5} = \frac{24.7}{5} = 4.94
]
Ответ: Линейная зависимость
[
\boxed{
y = -0.72x + 4.94
}
]
Шаг 4. Вычисление значений y при ( x=2.5 ) и ( x=6 )
- Для ( x=2.5 ):
[
y = -0.72 \times 2.5 + 4.94 = -1.8 + 4.94 = 3.14
]
- Для ( x=6 ):
[
y = -0.72 \times 6 + 4.94 = -4.32 + 4.94 = 0.62
]
Итог:
[
\boxed{
y = -0.72x + 4.94
}
]
При ( x = 2.5 ), ( y \approx 3.14 )
При ( x = 6 ), ( y \approx 0.62 )
Если есть дополнительные вопросы, с радостью помогу!
