В задачах 21-40 результаты измерений величин x и y даются таблицей. Предполагая, что между переменными x и y существует линейная функциональная зависимость y=ax+b, найти,…

Давайте рассмотрим задачу и решим её по шагам, используя метод наименьших квадратов для нахождения линейной функции y = ax + b.

---

Шаг 1. Запишем исходные данные

Из таблицы:

x	1	2	3	4	5
y	3.6	4.6	3.1	1.1	1.6

---

Шаг 2. Найдём необходимые суммы для вычислений

Для метода наименьших квадратов нужно найти:

• сумма всех x: \( S_x = \sum x \)
• сумма всех y: \( S_y = \sum y \)
• сумма всех x²: \( S_{x^2} = \sum x^2 \)
• сумма всех xy: \( S_{xy} = \sum xy \)
• число наблюдений: \( n \)

Рассчитаем:

\[ S_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \]

\[ S_y = 3.6 + 4.6 + 3.1 + 1.1 + 1.6 = 13.9 \]

\[ S_{x^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 \]

\[ S_{xy} = (1)(3.6) + (2)(4.6) + (3)(3.1) + (4)(1.1) + (5)(1.6) \]

\[ = 3.6 + 9.2 + 9.3 + 4.4 + 8.0 = 34.5 \]

Количество точек: \( n=5 \).

---

Шаг 3. Найдём коэффициенты a и b

Формулы для линейной регрессии:

\[ a = \frac{nS_{xy} - S_x S_y}{nS_{x^2} - (S_x)^2} \]

\[ b = \frac{S_y - a S_x}{n} \]

Подставляем значения:

\[ a = \frac{5 \times 34.5 - 15 \times 13.9}{5 \times 55 - 15^2} = \frac{172.5 - 208.5}{275 - 225} = \frac{-36}{50} = -0.72 \]

Теперь найдём b:

\[ b = \frac{13.9 - (-0.72) \times 15}{5} = \frac{13.9 + 10.8}{5} = \frac{24.7}{5} = 4.94 \]

---

Ответ: Линейная зависимость

\[ \boxed{ y = -0.72x + 4.94 } \]

---

Шаг 4. Вычисление значений y при \( x=2.5 \) и \( x=6 \)

1. Для \( x=2.5 \):

\[ y = -0.72 \times 2.5 + 4.94 = -1.8 + 4.94 = 3.14 \]

2. Для \( x=6 \):

\[ y = -0.72 \times 6 + 4.94 = -4.32 + 4.94 = 0.62 \]

---

Итог:

• Функция:

\[ \boxed{ y = -0.72x + 4.94 } \]

• При \( x = 2.5 \), \( y \approx 3.14 \)

• При \( x = 6 \), \( y \approx 0.62 \)

Если есть дополнительные вопросы, с радостью помогу!